Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038396

Дано x²/(x − 6) ≤ x. Сразу отмечу главную ловушку: умножать обе части на (x − 6) нельзя — знак этого выражения неизвестен, а при умножении на отрицательное число неравенство переворачивается. Переносим всё в левую часть и приводим к одной дроби.

Область допустимых значений. Знаменатель не равен нулю: x − 6 ≠ 0, то есть x ≠ 6.

Переносим правую часть влево:

x²/(x − 6) − x ≤ 0

Общий знаменатель — (x − 6), домножаем на него x:

(x² − x(x − 6))/(x − 6) ≤ 0

Упрощаем числитель: x² − x·x + 6x = x² − x² + 6x = 6x. Остаётся

6x/(x − 6) ≤ 0

Число 6 положительное, на него можно поделить обе части — знак неравенства не изменится:

x/(x − 6) ≤ 0

Метод интервалов. Числитель обнуляется при x = 0 (эта точка входит в ответ: дробь там равна нулю, а «≤» ноль допускает). Знаменатель обнуляется при x = 6 (эта точка выколота). Проверяем знак дроби на трёх промежутках:

• x = −1: (−1)/(−7) ≈ 0,14 > 0 — не подходит;
• x = 3: 3/(−3) = −1 < 0 — подходит;
• x = 7: 7/1 = 7 > 0 — не подходит.

Проверим в исходном неравенстве. При x = 0: слева 0/(0 − 6) = 0, справа 0, и 0 ≤ 0 — верно. При x = 3: слева 9/(3 − 6) = −3, справа 3, и −3 ≤ 3 — верно. При x = 7: слева 49/1 = 49, справа 7, и 49 ≤ 7 — неверно, значит 7 правильно не вошло.

Итог: промежуток от 0 до 6, где ноль входит, а шестёрка выколота.