Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038394

Дана дробь (2x² − 12x + 18)/(x + 4) ≤ 0. Прежде чем расставлять интервалы, разложим числитель — он здесь неслучайный.

Область допустимых значений. Знаменатель не должен обращаться в нуль: x + 4 ≠ 0, то есть x ≠ −4.

Раскладываем числитель. Выносим общий множитель 2: 2x² − 12x + 18 = 2(x² − 6x + 9). В скобке стоит полный квадрат: x² − 6x + 9 = (x − 3)². Проверим раскрытием: (x − 3)² = x² − 6x + 9 — сходится. Значит числитель равен 2(x − 3)², и неравенство выглядит так:

2(x − 3)²/(x + 4) ≤ 0

Ключ к задаче: 2(x − 3)² никогда не отрицательно — двойка положительна, квадрат неотрицателен. Числитель равен нулю только при x = 3, во всех остальных точках строго положителен. Разбираем два случая.

Случай 1: x = 3. Числитель равен нулю, знаменатель 3 + 4 = 7 ≠ 0, вся дробь равна 0. Ноль подходит под «≤ 0», поэтому x = 3 входит в ответ.

Случай 2: x ≠ 3 (и x ≠ −4). Числитель строго положителен, значит дробь отрицательна ровно тогда, когда отрицателен знаменатель: x + 4 < 0, то есть x < −4.

Проверим по точкам. При x = −5: числитель 2·(−5 − 3)² = 2·64 = 128 > 0, знаменатель −5 + 4 = −1 < 0, дробь равна −128 < 0 — подходит. При x = 0: числитель 2·9 = 18, знаменатель 4, дробь 4,5 > 0 — не подходит. При x = 3: дробь 0 — подходит. При x = 10: числитель 2·49 = 98, знаменатель 14, дробь 7 > 0 — не подходит.

Итог: луч левее −4 (точка −4 выколота, там знаменатель нулевой) и отдельно стоящая точка 3.