Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038393

Дана дробь (3x² − 12x + 12)/(x + 3) ≤ 0. Первым делом всегда пробуем разложить числитель — здесь это решает всю задачу.

Область допустимых значений. Знаменатель не равен нулю: x + 3 ≠ 0, значит x ≠ −3.

Раскладываем числитель. У всех слагаемых есть общий множитель 3: 3x² − 12x + 12 = 3(x² − 4x + 4). В скобке — полный квадрат: x² − 4x + 4 = (x − 2)². Проверим: (x − 2)² = x² − 4x + 4 — верно. Итого числитель равен 3(x − 2)², и неравенство превращается в

3(x − 2)²/(x + 3) ≤ 0

Главное наблюдение: 3(x − 2)² не может быть отрицательным — это положительное число 3, умноженное на квадрат. Числитель равен нулю только при x = 2, во всех остальных точках он строго положителен. Разбираем два случая.

Случай 1: x = 2. Числитель равен нулю, знаменатель 2 + 3 = 5 ≠ 0, значит дробь равна 0. Ноль удовлетворяет условию «≤ 0», поэтому x = 2 входит в ответ.

Случай 2: x ≠ 2 (и x ≠ −3). Числитель строго положителен, поэтому дробь отрицательна ровно тогда, когда отрицателен знаменатель: x + 3 < 0, то есть x < −3.

Проверим по точкам. При x = −4: числитель 3·(−4 − 2)² = 3·36 = 108 > 0, знаменатель −4 + 3 = −1 < 0, дробь равна −108 < 0 — подходит. При x = 0: числитель 3·4 = 12, знаменатель 3, дробь 4 > 0 — не подходит. При x = 5: числитель 3·9 = 27, знаменатель 8, дробь > 0 — не подходит. При x = 2: дробь 0 — подходит.

Собираем ответ: луч левее −3 (сама точка −3 выколота, там знаменатель обращается в нуль) плюс отдельно стоящая точка 2.