Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038392

Слева произведение линейного множителя и квадратного трёхчлена. Разложим трёхчлен — и посмотрим, не появится ли что-то общее с первой скобкой.

Раскладываем трёхчлен. Решаем x² + 5x − 6 = 0: дискриминант D = 5² − 4·1·(−6) = 25 + 24 = 49, √D = 7, корни x = (−5 − 7)/2 = −6 и x = (−5 + 7)/2 = 1. Значит x² + 5x − 6 = (x + 6)(x − 1).

Неравенство становится таким: (1 − x)(x + 6)(x − 1) ≥ 0.

Приводим скобки к одному виду. Заметь: (1 − x) и (x − 1) отличаются только знаком, ведь 1 − x = −(x − 1). Заменим:

−(x − 1)(x + 6)(x − 1) ≥ 0, то есть −(x − 1)²(x + 6) ≥ 0.

Умножим обе части на −1, не забыв перевернуть знак неравенства:

(x − 1)²(x + 6) ≤ 0

Дальше работает то же соображение, что и всегда с квадратом: (x − 1)² не бывает отрицательным. Он равен нулю только при x = 1, в остальных точках положителен. Разбираем два случая.

Случай 1: x = 1. Тогда (x − 1)² = 0 и всё произведение равно нулю. Условию «≤ 0» ноль удовлетворяет, значит x = 1 входит в ответ.

Случай 2: x ≠ 1. Тогда (x − 1)² > 0, и на это положительное число можно разделить обе части, знак сохранится: x + 6 ≤ 0, то есть x ≤ −6.

Проверка в исходном неравенстве (1 − x)(x² + 5x − 6) ≥ 0. При x = −7: (1 + 7)·(49 − 35 − 6) = 8·8 = 64 ≥ 0 — подходит. При x = 0: 1·(−6) = −6 ≥ 0 — неверно, значит 0 не входит, всё правильно. При x = 1: 0·0 = 0 ≥ 0 — подходит. При x = 2: (−1)·(4 + 10 − 6) = −8 — не подходит.

Итог: весь луч левее −6 вместе с точкой −6 и отдельно стоящая точка 1.