Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038391

Дано x ≤ 64/x. Сразу предупреждение: умножать обе части на x нельзя — мы не знаем, положителен он или отрицателен, а при умножении на отрицательное число знак неравенства переворачивается. Значит переносим всё в левую часть и приводим к одной дроби.

Область допустимых значений. В знаменателе стоит x, поэтому x ≠ 0.

Переносим:

x − 64/x ≤ 0

Общий знаменатель — x, домножаем первое слагаемое на него:

(x² − 64)/x ≤ 0

Числитель — разность квадратов: x² − 64 = x² − 8² = (x − 8)(x + 8). Получаем

(x − 8)(x + 8)/x ≤ 0

Метод интервалов. Отмечаем на прямой точки, где дробь может менять знак: нули числителя x = −8 и x = 8 (эти точки входят в ответ, дробь там равна нулю, а «≤» ноль допускает) и нуль знаменателя x = 0 (эта точка выколота). Проверяем знак на каждом из четырёх промежутков:

• x = −9: (−17)·(−1)/(−9) = 17/(−9) < 0 — подходит;
• x = −1: (−9)·7/(−1) = 63 > 0 — не подходит;
• x = 1: (−7)·9/1 = −63 < 0 — подходит;
• x = 9: 1·17/9 > 0 — не подходит.

Проверим в исходном неравенстве. При x = 1: слева 1, справа 64/1 = 64, и 1 ≤ 64 — верно. При x = −9: слева −9, справа 64/(−9) ≈ −7,1, и −9 ≤ −7,1 — верно. При x = 9: слева 9, справа 64/9 ≈ 7,1, и 9 ≤ 7,1 — неверно, значит 9 правильно не вошло.

Итог: подходит луч левее −8 (вместе с точкой −8) и промежуток от 0 до 8, где ноль выколот, а 8 включена.