Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038390

Дана дробь (3x² − 18x + 27)/(x + 7) ≤ 0. Прежде чем расставлять интервалы, всегда стоит попробовать разложить числитель — часто он «схлопывается» и задача становится совсем другой.

Область допустимых значений. Знаменатель не равен нулю: x + 7 ≠ 0, то есть x ≠ −7.

Разбираем числитель. Вынесем общий множитель 3: 3x² − 18x + 27 = 3(x² − 6x + 9). А в скобке — полный квадрат: x² − 6x + 9 = (x − 3)². Проверим: (x − 3)² = x² − 6x + 9 — верно. Значит числитель равен 3(x − 3)².

Неравенство принимает вид

3(x − 3)² / (x + 7) ≤ 0

Ключевое наблюдение: 3(x − 3)² никогда не отрицательно — это тройка (положительная) на квадрат. Числитель равен нулю только при x = 3, а во всех остальных точках строго положителен. Разбираем два случая.

Случай 1: x = 3. Числитель равен нулю, знаменатель 3 + 7 = 10 ≠ 0, значит вся дробь равна 0. Условию «≤ 0» ноль удовлетворяет — точка x = 3 входит в ответ.

Случай 2: x ≠ 3 (и x ≠ −7). Тогда числитель строго положителен, и чтобы дробь была отрицательной, знаменатель обязан быть отрицательным: x + 7 < 0, то есть x < −7.

Проверим по точкам. При x = −8: числитель 3·(−8 − 3)² = 3·121 = 363 > 0, знаменатель −8 + 7 = −1 < 0, дробь равна −363 < 0 — подходит. При x = 0: числитель 3·9 = 27, знаменатель 7, дробь 27/7 > 0 — не подходит. При x = 5: числитель 3·4 = 12, знаменатель 12, дробь 1 > 0 — не подходит. При x = 3: дробь 0 — подходит. Всё сходится.

Собираем ответ: весь луч левее −7 (сама точка −7 выколота, там знаменатель нулевой) и отдельно стоящая точка 3.