Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038389

Дано 1/x ≥ 1/(x − 5). Здесь важно сразу поймать главную ловушку: перемножать «крест-накрест» нельзя. Знаки знаменателей x и x − 5 неизвестны, а при умножении на отрицательное число неравенство переворачивается. Работаем строго через перенос в одну часть.

Область допустимых значений. Знаменатели не должны обращаться в нуль: x ≠ 0 и x − 5 ≠ 0, то есть x ≠ 5.

Переносим всё влево:

1/x − 1/(x − 5) ≥ 0

Общий знаменатель — произведение x(x − 5). Приводим:

((x − 5) − x) / (x(x − 5)) ≥ 0

Считаем числитель: (x − 5) − x = x − 5 − x = −5. Числитель оказался просто числом! Получаем

−5 / (x(x − 5)) ≥ 0

Умножим обе части на −1 — знак неравенства при этом переворачивается:

5 / (x(x − 5)) ≤ 0

Числитель 5 — положительное число и нулём никогда не станет, поэтому знак дроби целиком определяется знаменателем. Дробь никогда не равна нулю, значит нужно строгое условие: x(x − 5) < 0.

Решаем это неравенство. Слева парабола ветвями вверх с корнями 0 и 5; ниже оси она находится между корнями. Значит 0 < x < 5. Оба конца выколоты и по ОДЗ, и потому что там знаменатель обращается в нуль.

Проверка в исходном неравенстве. Возьмём x = 1: слева 1/1 = 1, справа 1/(1 − 5) = −0,25; неравенство 1 ≥ −0,25 верно. Возьмём x = 6: слева 1/6 ≈ 0,17, справа 1/1 = 1; 0,17 ≥ 1 неверно — правильно, что 6 не вошло. Возьмём x = −1: слева −1, справа 1/(−6) ≈ −0,17; −1 ≥ −0,17 неверно — тоже верно исключили.