Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038388

Слева произведение двух квадратных трёхчленов, справа ноль. Раскрывать скобки не надо — получится четвёртая степень. Разложим каждый трёхчлен на линейные множители, и дальше сработает метод интервалов.

Первая скобка. Решаем x² + x − 12 = 0: дискриминант D = 1² − 4·1·(−12) = 1 + 48 = 49, √D = 7, корни x = (−1 − 7)/2 = −4 и x = (−1 + 7)/2 = 3. Значит x² + x − 12 = (x + 4)(x − 3).

Вторая скобка. Решаем x² + x − 20 = 0: D = 1² − 4·1·(−20) = 1 + 80 = 81, √D = 9, корни x = (−1 − 9)/2 = −5 и x = (−1 + 9)/2 = 4. Значит x² + x − 20 = (x + 5)(x − 4).

Неравенство превращается в: (x + 4)(x − 3)(x + 5)(x − 4) ≤ 0.

Здесь все четыре множителя разные, ни один не повторяется — значит в каждом нуле знак произведения меняется. Расставим нули по возрастанию: −5, −4, 3, 4 — они делят прямую на пять промежутков.

Определяем знаки подстановкой. Справа от самого большого корня все скобки положительны, поэтому там произведение положительно, а дальше влево знак чередуется. Проверим:

• x = 5: 9·2·10·1 = 180 > 0 — не подходит;
• x = 3,5: 7,5·0,5·8,5·(−0,5) < 0 — подходит;
• x = 0: 4·(−3)·5·(−4) = 240 > 0 — не подходит;
• x = −4,5: (−0,5)·(−7,5)·0,5·(−8,5) < 0 — подходит;
• x = −6: (−2)·(−9)·(−1)·(−10) = 180 > 0 — не подходит.

Нам нужны промежутки со знаком «минус», и сами нули тоже входят, потому что неравенство нестрогое («≤ 0» разрешает равенство нулю).

Получаем два отрезка: от −5 до −4 и от 3 до 4, оба вместе с концами.