Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038387

Дано дробно-рациональное неравенство x²/(x − 4) ≤ x. Первое, что нужно сказать: умножать обе части на (x − 4) нельзя — мы не знаем его знак, а при умножении на отрицательное число знак неравенства переворачивается. Правильный путь один: перенести всё в левую часть и привести к одной дроби.

Область допустимых значений. Знаменатель не должен обращаться в нуль: x − 4 ≠ 0, то есть x ≠ 4. Запоминаем это.

Переносим и приводим к общему знаменателю:

x²/(x − 4) − x ≤ 0

Общий знаменатель — (x − 4), поэтому второе слагаемое домножаем на него:

(x² − x(x − 4))/(x − 4) ≤ 0

Раскрываем скобки в числителе: x² − x·x + 4x = x² − x² + 4x = 4x. Получаем

4x/(x − 4) ≤ 0

Число 4 положительное, на него можно разделить обе части — знак не изменится:

x/(x − 4) ≤ 0

Метод интервалов. Числитель обнуляется при x = 0 (эта точка входит в ответ, потому что дробь там равна нулю, а «≤» ноль допускает). Знаменатель обнуляется при x = 4 (эта точка выколота, делить на ноль нельзя). Отмечаем 0 и 4 на прямой и проверяем знак дроби x/(x − 4) на каждом из трёх промежутков:

• x = −1: (−1)/(−5) = 0,2 > 0 — не подходит;
• x = 1: 1/(−3) ≈ −0,33 < 0 — подходит;
• x = 5: 5/1 = 5 > 0 — не подходит.

Значит дробь неположительна на промежутке от 0 до 4, причём 0 берём вместе с точкой, а 4 — без неё.

Проверим в исходном неравенстве. При x = 0: 0/(0 − 4) = 0 и справа 0, неравенство 0 ≤ 0 верно. При x = 2: 4/(2 − 4) = −2, справа 2, неравенство −2 ≤ 2 верно. При x = 5: 25/1 = 25, справа 5, неравенство 25 ≤ 5 неверно — правильно, что 5 не вошло.