Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038386

Слева — произведение двух квадратных трёхчленов, и оно должно быть не больше нуля. Раскрывать скобки нельзя: получится четвёртая степень. Правильный ход — разложить каждую скобку на линейные множители, тогда знак произведения читается по интервалам.

Первая скобка. Решаем x² + 3x − 18 = 0: дискриминант D = 3² − 4·1·(−18) = 9 + 72 = 81, √D = 9, корни x = (−3 − 9)/2 = −6 и x = (−3 + 9)/2 = 3. Значит x² + 3x − 18 = (x + 6)(x − 3).

Вторая скобка. Решаем x² − 5x + 6 = 0: D = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1, √D = 1, корни x = (5 − 1)/2 = 2 и x = (5 + 1)/2 = 3. Значит x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).

Неравенство принимает вид: (x + 6)(x − 3)(x − 2)(x − 3) ≤ 0, то есть (x + 6)(x − 2)(x − 3)² ≤ 0.

Обрати внимание на множитель (x − 3)². Квадрат не бывает отрицательным: он равен нулю только при x = 3, а во всех остальных точках положителен. Поэтому он не переворачивает знак произведения, но даёт отдельную точку-решение.

Случай 1: x = 3. Тогда (x − 3)² = 0, всё произведение равно нулю. Ноль удовлетворяет условию «≤ 0», поэтому x = 3 входит в ответ.

Случай 2: x ≠ 3. Тогда (x − 3)² > 0, и на это положительное число обе части можно разделить, знак неравенства сохранится: (x + 6)(x − 2) ≤ 0. Это парабола ветвями вверх с корнями −6 и 2; между корнями она лежит ниже оси. Получаем −6 ≤ x ≤ 2.

Проверка по точкам для произведения (x + 6)(x − 2)(x − 3)²: при x = 0 → 6·(−2)·9 = −108 < 0 — подходит; при x = 2,5 → 8,5·0,5·0,25 ≈ 1,06 > 0 — не подходит; при x = 4 → 10·2·1 = 20 > 0 — не подходит; при x = −7 → (−1)·(−9)·100 = 900 > 0 — не подходит. Всё сходится.

Складываем оба случая: отрезок от −6 до 2 включительно плюс отдельная точка 3.