Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038385

Слева стоит произведение двух квадратных трёхчленов, и оно должно быть не больше нуля. Раскрывать скобки тут бессмысленно — получится многочлен четвёртой степени. Наоборот: каждый трёхчлен разложим на линейные множители, и тогда знак всего произведения будет виден сразу.

Раскладываем первую скобку. Решаем x² + 2x − 15 = 0: дискриминант D = 2² − 4·1·(−15) = 4 + 60 = 64, √D = 8, корни x = (−2 − 8)/2 = −5 и x = (−2 + 8)/2 = 3. Значит x² + 2x − 15 = (x + 5)(x − 3).

Раскладываем вторую скобку. Решаем x² − 4x + 3 = 0: D = (−4)² − 4·1·3 = 16 − 12 = 4, √D = 2, корни x = (4 − 2)/2 = 1 и x = (4 + 2)/2 = 3. Значит x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3).

Собираем неравенство заново: (x + 5)(x − 3)(x − 1)(x − 3) ≤ 0, то есть (x + 5)(x − 1)(x − 3)² ≤ 0.

Вот тут главное место. Множитель (x − 3)² — квадрат, он никогда не бывает отрицательным: он либо равен нулю (при x = 3), либо положителен. Поэтому знак всего произведения задаёт только часть (x + 5)(x − 1), а точка x = 3 стоит отдельно.

Случай 1: x = 3. Тогда (x − 3)² = 0, всё произведение равно 0, а ноль условию «≤ 0» удовлетворяет. Значит x = 3 в ответ входит.

Случай 2: x ≠ 3. Тогда (x − 3)² > 0, и на положительное число можно делить, знак неравенства не меняется: остаётся (x + 5)(x − 1) ≤ 0. Это парабола ветвями вверх с корнями −5 и 1, между корнями она отрицательна. Значит −5 ≤ x ≤ 1.

Проверим по одной точке в каждом промежутке для исходного произведения (x + 5)(x − 1)(x − 3)²: при x = 0 получаем 5·(−1)·9 = −45 < 0 — подходит; при x = 2 получаем 7·1·1 = 7 > 0 — не подходит; при x = 4 получаем 9·3·1 = 27 > 0 — не подходит; при x = −6 получаем (−1)·(−7)·81 = 567 > 0 — не подходит. Всё сходится.

Объединяем оба случая: подходит весь отрезок от −5 до 1 включительно и отдельно стоящая точка 3.