Площади — Задание 18 ОГЭ по математике №00025176

💡 Идея. вершины ромба — это узлы сетки, и площадь такой фигуры удобно считать по формуле «площадь через координаты вершин» (либо через клетки описанного прямоугольника минус угловые треугольники).

Поставим на вершины ромба координаты по клеткам сетки (считая от одного из узлов): $A(1;4)$, $B(4;3)$, $C(5;0)$, $D(2;1)$ — стороны ромба идут «шагом» $3$ клетки в одну сторону и $1$ клетку в другую (или наоборот), поэтому все четыре стороны и правда равны по длине $\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$.

Считаем площадь по формуле площади многоугольника через координаты вершин (идём по вершинам по порядку и складываем попарные произведения):

$$S = \dfrac12\left|x_A(y_B-y_D)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_D-y_B)+x_D(y_A-y_C)\right|.$$

Подставляем координаты:

$$S = \dfrac12\left|1\cdot(3-1)+4\cdot(0-4)+5\cdot(1-3)+2\cdot(4-0)\right|=\dfrac12\left|2-16-10+8\right|=\dfrac12\left|-16\right|=8.$$

Площадь ромба равна $8$.

Проверка: у ромба со стороной $\sqrt{10}$ и таким расположением на сетке площадь, посчитанная через клетки описанной фигуры (метод «прямоугольник минус треугольники»), тоже даёт $8$ — оба способа согласуются.