Квадратные… — Задание 13 ОГЭ по математике №00025155

💡 Идея. у всех вариантов один и тот же квадратный трёхчлен, только с разным знаком свободного члена и разным знаком неравенства — смотрим на знак дискриминанта, чтобы понять, пересекает ли парабола ось $x$.

Разберём трёхчлен $x^2-5x+13$ (варианты 1 и 4). Считаем дискриминант:

$$D = (-5)^2 - 4\cdot1\cdot13 = 25-52=-27$$.

Дискриминант отрицателен, значит, у параболы $y=x^2-5x+13$ нет корней, и она не пересекает ось $x$. Ветви направлены вверх ($a=1\gt0$), поэтому вся парабола лежит выше оси — выражение $x^2-5x+13$ положительно при любом $x$.

Значит, неравенство $x^2-5x+13\gt0$ (вариант 1) верно всегда — решений бесконечно много ($x$ — любое число). А неравенство $x^2-5x+13\lt0$ (вариант 4) не выполняется никогда — выражение никогда не бывает отрицательным.

Для сравнения: у трёхчлена $x^2-5x-13$ (варианты 2, 3) дискриминант $D=25+52=77\gt0$ — у него есть корни, и он меняет знак, так что оба варианта 2 и 3 имеют решения.

Не имеет решений неравенство под номером 4.

Проверка: подставим любое $x$, например $x=2{,}5$ (вершина параболы): $2{,}5^2-5\cdot2{,}5+13=6{,}25-12{,}5+13=6{,}75\gt0$ — даже в самой нижней точке параболы значение положительно, отрицательным оно не станет никогда.