Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00025143

💡 Идея. Модуль раскрывается по-разному внутри и снаружи отрезка от $-3$ до $3$: снаружи график станет прямой, внутри — параболой. Дальше считаем точки на каждом уровне.

Выражение под модулем $x^{2}-9$ обращается в нуль при $x=-3$ и $x=3$ — там и меняется формула.

При $|x|\ge 3$ имеем $x^{2}-9\ge 0$, поэтому $\left|x^{2}-9\right|=x^{2}-9$ и

$$y=x^{2}+2x-\left(x^{2}-9\right)-8=2x+1.$$

Это прямая. На луче $x\le -3$ она даёт значения $y\le -5$, на луче $x\ge 3$ — значения $y\ge 7$.

При $|x|\lt 3$ имеем $x^{2}-9\lt 0$, поэтому $\left|x^{2}-9\right|=9-x^{2}$ и

$$y=x^{2}+2x+x^{2}-9-8=2x^{2}+2x-17.$$

Это парабола ветвями вверх. Абсцисса вершины $x_{0}=-\dfrac{2}{2\cdot 2}=-0{,}5$, значение в вершине $y_{0}=2\cdot 0{,}25-1-17=-17{,}5$.

На концах куска: при $x=-3$ получаем $18-6-17=-5$, при $x=3$ получаем $18+6-17=7$ — ровно те же значения, что дают лучи, поэтому график склеивается без разрывов.

Теперь двигаем прямую $y=m$ и считаем точки.

Левый луч даёт точку только при $m\le -5$, правый луч — только при $m\ge 7$.

Кусок параболы на $(-3;\ 3)$ спускается от $-5$ до $-17{,}5$ и поднимается до $7$: убывающая ветвь даёт точку при $-17{,}5\lt m\lt -5$, возрастающая — при $-17{,}5\lt m\lt 7$.

Складываем. При $-17{,}5\lt m\lt -5$ получается $1+2=3$ точки — это и есть искомый случай.

Остальные уровни не подходят: при $m\lt -17{,}5$ точка одна, при $m=-17{,}5$ их две (вершина и левый луч), при $m=-5$ тоже две (конец левого луча $x=-3$ и точка $x=2$ на параболе), при $-5\lt m\lt 7$ одна, при $m=7$ одна, при $m\gt 7$ одна.

Проверка себя: возьмём $m=-10$. Из $2x^{2}+2x-17=-10$ получаем $2x^{2}+2x-7=0$, $D=4+56=60$, корни $\dfrac{-2\pm\sqrt{60}}{4}\approx 1{,}44$ и $\approx -2{,}44$ — оба внутри $(-3;\ 3)$. Плюс точка левого луча $2x+1=-10$, то есть $x=-5{,}5$. Итого три точки. Сходится.