Задание 22 ОГЭ по математике: Постройте график функции y равно x в квадрате плюс 2x минус…

💡 Идея. Модуль раскрывается по-разному внутри и снаружи отрезка от -3 до 3: снаружи график станет прямой, внутри — параболой. Дальше считаем точки на каждом уровне.

Выражение под модулем x^{2}-9 обращается в нуль при x=-3 и x=3 — там и меняется формула.

При |x|\ge 3 имеем x^{2}-9\ge 0, поэтому \left|x^{2}-9\right|=x^{2}-9 и

y=x^{2}+2x-\left(x^{2}-9\right)-8=2x+1.

Это прямая. На луче x\le -3 она даёт значения y\le -5, на луче x\ge 3 — значения y\ge 7.

При |x|\lt 3 имеем x^{2}-9\lt 0, поэтому \left|x^{2}-9\right|=9-x^{2} и

y=x^{2}+2x+x^{2}-9-8=2x^{2}+2x-17.

Это парабола ветвями вверх. Абсцисса вершины x_{0}=-\dfrac{2}{2\cdot 2}=-0{,}5, значение в вершине y_{0}=2\cdot 0{,}25-1-17=-17{,}5.

На концах куска: при x=-3 получаем 18-6-17=-5, при x=3 получаем 18+6-17=7 — ровно те же значения, что дают лучи, поэтому график склеивается без разрывов.

Теперь двигаем прямую y=m и считаем точки.

Левый луч даёт точку только при m\le -5, правый луч — только при m\ge 7.

Кусок параболы на (-3;\ 3) спускается от -5 до -17{,}5 и поднимается до 7: убывающая ветвь даёт точку при -17{,}5\lt m\lt -5, возрастающая — при -17{,}5\lt m\lt 7.

Складываем. При -17{,}5\lt m\lt -5 получается 1+2=3 точки — это и есть искомый случай.

Остальные уровни не подходят: при m\lt -17{,}5 точка одна, при m=-17{,}5 их две (вершина и левый луч), при m=-5 тоже две (конец левого луча x=-3 и точка x=2 на параболе), при -5\lt m\lt 7 одна, при m=7 одна, при m\gt 7 одна.

Проверка себя: возьмём m=-10. Из 2x^{2}+2x-17=-10 получаем 2x^{2}+2x-7=0, D=4+56=60, корни \dfrac{-2\pm\sqrt{60}}{4}\approx 1{,}44 и \approx -2{,}44 — оба внутри (-3;\ 3). Плюс точка левого луча 2x+1=-10, то есть x=-5{,}5. Итого три точки. Сходится.