ID: 00025142
Расстояние между пристанями $A$ и $B$ равно $108$ км. Из $A$ в $B$ по течению реки отправился плот, а через два часа вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт $B$, тотчас повернула обратно и возвратилась в $A$. К этому времени плот проплыл $51$ км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна $3$ км/ч.
Источник: Сборник Ященко 2026
💡 Идея. Плот — это «часы» задачи: он плывёт со скоростью течения, поэтому по пройденному им пути сразу узнаём общее время. Вычтем два часа опоздания — и получим, сколько лодка была в пути туда и обратно.
У плота нет двигателя, он просто дрейфует, поэтому его скорость равна скорости течения — $3$ км/ч.
За всю историю плот проплыл $51$ км, значит, он был в пути
$$51:3=17\ \text{ч}.$$
Лодка вышла на $2$ часа позже плота, а вернулась в $A$ ровно к этому моменту, поэтому лодка была в пути
$$17-2=15\ \text{ч}.$$
Обозначим скорость лодки в неподвижной воде за $v$ км/ч. По течению её скорость складывается с течением, против течения — уменьшается на него.
| Скорость, км/ч | Время, ч | Путь, км |
|---|---|---|---|
Туда (A → B) | $v+3$ | $\dfrac{108}{v+3}$ | $108$ |
Обратно (B → A) | $v-3$ | $\dfrac{108}{v-3}$ | $108$ |
Время каждого участка — это путь, делённый на скорость. Сумма двух времён равна $15$ часам:
$$\dfrac{108}{v+3}+\dfrac{108}{v-3}=15.$$
Умножаем обе части на $(v+3)(v-3)=v^{2}-9$:
$$108(v-3)+108(v+3)=15\left(v^{2}-9\right).$$
Слева слагаемые с тройкой взаимно уничтожаются: $$216v=15v^{2}-135.$$
Переносим всё в одну часть и делим на $3$: $$5v^{2}-72v-45=0.$$
Дискриминант $D=72^{2}+4\cdot 5\cdot 45=5184+900=6084$, $\sqrt{D}=78$.
Корни $v=\dfrac{72\pm 78}{10}$: это $15$ и $-0{,}6$. Скорость не бывает отрицательной, поэтому $v=15$.
Проверка себя: по течению $108:(15+3)=6$ ч, против течения $108:(15-3)=9$ ч, вместе ровно $15$ ч. Сходится.