Задание 21 ОГЭ по математике №00025142

💡 Идея. Плот — это «часы» задачи: он плывёт со скоростью течения, поэтому по пройденному им пути сразу узнаём общее время. Вычтем два часа опоздания — и получим, сколько лодка была в пути туда и обратно.

У плота нет двигателя, он просто дрейфует, поэтому его скорость равна скорости течения — $3$ км/ч.

За всю историю плот проплыл $51$ км, значит, он был в пути

$$51:3=17\ \text{ч}.$$

Лодка вышла на $2$ часа позже плота, а вернулась в $A$ ровно к этому моменту, поэтому лодка была в пути

$$17-2=15\ \text{ч}.$$

Обозначим скорость лодки в неподвижной воде за $v$ км/ч. По течению её скорость складывается с течением, против течения — уменьшается на него.

Время каждого участка — это путь, делённый на скорость. Сумма двух времён равна $15$ часам:

$$\dfrac{108}{v+3}+\dfrac{108}{v-3}=15.$$

Умножаем обе части на $(v+3)(v-3)=v^{2}-9$:

$$108(v-3)+108(v+3)=15\left(v^{2}-9\right).$$

Слева слагаемые с тройкой взаимно уничтожаются: $$216v=15v^{2}-135.$$

Переносим всё в одну часть и делим на $3$: $$5v^{2}-72v-45=0.$$

Дискриминант $D=72^{2}+4\cdot 5\cdot 45=5184+900=6084$, $\sqrt{D}=78$.

Корни $v=\dfrac{72\pm 78}{10}$: это $15$ и $-0{,}6$. Скорость не бывает отрицательной, поэтому $v=15$.

Проверка себя: по течению $108:(15+3)=6$ ч, против течения $108:(15-3)=9$ ч, вместе ровно $15$ ч. Сходится.