Задание 21 ОГЭ по математике: Расстояние между пристанями A и B равно 108 км. Из A в B по…

💡 Идея. Плот — это «часы» задачи: он плывёт со скоростью течения, поэтому по пройденному им пути сразу узнаём общее время. Вычтем два часа опоздания — и получим, сколько лодка была в пути туда и обратно.

У плота нет двигателя, он просто дрейфует, поэтому его скорость равна скорости течения — 3 км/ч.

За всю историю плот проплыл 51 км, значит, он был в пути

51:3=17\ \text{ч}.

Лодка вышла на 2 часа позже плота, а вернулась в A ровно к этому моменту, поэтому лодка была в пути

17-2=15\ \text{ч}.

Обозначим скорость лодки в неподвижной воде за v км/ч. По течению её скорость складывается с течением, против течения — уменьшается на него.

Время каждого участка — это путь, делённый на скорость. Сумма двух времён равна 15 часам:

\dfrac{108}{v+3}+\dfrac{108}{v-3}=15.

Умножаем обе части на (v+3)(v-3)=v^{2}-9:

108(v-3)+108(v+3)=15\left(v^{2}-9\right).

Слева слагаемые с тройкой взаимно уничтожаются: 216v=15v^{2}-135.

Переносим всё в одну часть и делим на 3: 5v^{2}-72v-45=0.

Дискриминант D=72^{2}+4\cdot 5\cdot 45=5184+900=6084, \sqrt{D}=78.

Корни v=\dfrac{72\pm 78}{10}: это 15 и -0{,}6. Скорость не бывает отрицательной, поэтому v=15.

Проверка себя: по течению 108:(15+3)=6 ч, против течения 108:(15-3)=9 ч, вместе ровно 15 ч. Сходится.