Задание 25 ОГЭ по математике: Четырёхугольник ABCD со сторонами AB равно 12 и CD равно 18…

💡 Идея. Угол между диагоналями связан с двумя дугами, а каждая сторона — со своей дугой и радиусом. Получится маленькая система, которая сводится к тангенсу одного угла.

Правило: угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами.

Угол AKB заключён между дугами AB и CD, поэтому их сумма равна

2\cdot 60^\circ=120^\circ.

Обозначим через \alpha половину дуги AB, а через \beta — половину дуги CD. Тогда \alpha+\beta=60^\circ.

Правило: хорда равна 2R, умноженному на синус половины своей дуги (это теорема синусов вместе с теоремой о вписанном угле).

Значит, 12=2R\sin\alpha,\qquad 18=2R\sin\beta, откуда \sin\alpha=\dfrac{6}{R} и \sin\beta=\dfrac{9}{R}.

Разделим второе на первое: \sin\beta=1{,}5\sin\alpha.

Подставим \beta=60^\circ-\alpha и раскроем синус разности:

\sin 60^\circ\cos\alpha-\cos 60^\circ\sin\alpha=1{,}5\sin\alpha.

Подставляем табличные значения \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} и \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}:

\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha-\dfrac{1}{2}\sin\alpha=1{,}5\sin\alpha,\qquad \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha=2\sin\alpha.

Делим обе части на \cos\alpha (он не равен нулю, ведь \alpha\lt 60^\circ):

\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{4}.

По тангенсу находим синус. Если катеты прямоугольного треугольника равны \sqrt{3} и 4, то гипотенуза равна \sqrt{3+16}=\sqrt{19}, поэтому

\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{19}}.

Осталось найти радиус:

R=\dfrac{6}{\sin\alpha}=\dfrac{6\sqrt{19}}{\sqrt{3}}=\dfrac{6\sqrt{19}\cdot\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{57}.

Проверка себя: 2\sqrt{57}\approx 15{,}1. Тогда \sin\alpha=\dfrac{6}{15{,}1}\approx 0{,}397, то есть \alpha\approx 23{,}4^\circ, и \sin\beta=\dfrac{9}{15{,}1}\approx 0{,}596, то есть \beta\approx 36{,}6^\circ. В сумме ровно 60^\circ. Сходится.