Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00025140

💡 Идея. Угол между диагоналями связан с двумя дугами, а каждая сторона — со своей дугой и радиусом. Получится маленькая система, которая сводится к тангенсу одного угла.

Правило: угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами.

Угол $AKB$ заключён между дугами $AB$ и $CD$, поэтому их сумма равна

$$2\cdot 60^\circ=120^\circ.$$

Обозначим через $\alpha$ половину дуги $AB$, а через $\beta$ — половину дуги $CD$. Тогда $\alpha+\beta=60^\circ$.

Правило: хорда равна $2R$, умноженному на синус половины своей дуги (это теорема синусов вместе с теоремой о вписанном угле).

Значит, $$12=2R\sin\alpha,\qquad 18=2R\sin\beta,$$ откуда $\sin\alpha=\dfrac{6}{R}$ и $\sin\beta=\dfrac{9}{R}$.

Разделим второе на первое: $\sin\beta=1{,}5\sin\alpha$.

Подставим $\beta=60^\circ-\alpha$ и раскроем синус разности:

$$\sin 60^\circ\cos\alpha-\cos 60^\circ\sin\alpha=1{,}5\sin\alpha.$$

Подставляем табличные значения $\sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}$:

$$\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha-\dfrac{1}{2}\sin\alpha=1{,}5\sin\alpha,\qquad \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha=2\sin\alpha.$$

Делим обе части на $\cos\alpha$ (он не равен нулю, ведь $\alpha\lt 60^\circ$):

$$\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{4}.$$

По тангенсу находим синус. Если катеты прямоугольного треугольника равны $\sqrt{3}$ и $4$, то гипотенуза равна $\sqrt{3+16}=\sqrt{19}$, поэтому

$$\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{19}}.$$

Осталось найти радиус:

$$R=\dfrac{6}{\sin\alpha}=\dfrac{6\sqrt{19}}{\sqrt{3}}=\dfrac{6\sqrt{19}\cdot\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{57}.$$

Проверка себя: $2\sqrt{57}\approx 15{,}1$. Тогда $\sin\alpha=\dfrac{6}{15{,}1}\approx 0{,}397$, то есть $\alpha\approx 23{,}4^\circ$, и $\sin\beta=\dfrac{9}{15{,}1}\approx 0{,}596$, то есть $\beta\approx 36{,}6^\circ$. В сумме ровно $60^\circ$. Сходится.