Задание 23 ОГЭ по математике: Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины…

№2. Задание 23

ID: 00025138

Точка $H$ является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла $A$ треугольника $ABC$ к гипотенузе $BC$ . Найдите $AB$ , если $BH=3$ , $BC=75$ .

Источник: Сборник Ященко 2026

Решение

💡 Идея. Высота из прямого угла разрезает треугольник на два маленьких, каждый из которых подобен большому. Отсюда рождается короткая формула: катет — среднее геометрическое гипотенузы и прилежащего к нему отрезка.

Высота $AH$ перпендикулярна гипотенузе $BC$ , поэтому треугольник $ABH$ прямоугольный с прямым углом при $H$ .

Сравним треугольники $ABH$ и $CBA$ : угол при вершине $B$ у них общий, а прямые углы — при $H$ и при $A$ соответственно. Значит, они подобны по двум углам.

Из подобия выпишем отношение соответственных сторон (гипотенуза к прилежащему катету):

$\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{BH}{BA}.$

Перемножаем «крест-накрест» и получаем правило: квадрат катета равен произведению гипотенузы на прилежащий к этому катету отрезок гипотенузы.

$AB^{2}=BH\cdot BC=3\cdot 75=225.$

Значит, $AB=\sqrt{225}=15.$

Проверка себя: второй отрезок гипотенузы $CH=75-3=72$ , тогда второй катет $AC=\sqrt{72\cdot 75}=\sqrt{5400}$ . Проверим теорему Пифагора: $AB^{2}+AC^{2}=225+5400=5625=75^{2}$ — точно гипотенуза. Сходится.

Ответ