Треугольники — Задание 23 ОГЭ по математике №00025138

💡 Идея. Высота из прямого угла разрезает треугольник на два маленьких, каждый из которых подобен большому. Отсюда рождается короткая формула: катет — среднее геометрическое гипотенузы и прилежащего к нему отрезка.

Высота $AH$ перпендикулярна гипотенузе $BC$, поэтому треугольник $ABH$ прямоугольный с прямым углом при $H$.

Сравним треугольники $ABH$ и $CBA$: угол при вершине $B$ у них общий, а прямые углы — при $H$ и при $A$ соответственно. Значит, они подобны по двум углам.

Из подобия выпишем отношение соответственных сторон (гипотенуза к прилежащему катету):

$$\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{BH}{BA}.$$

Перемножаем «крест-накрест» и получаем правило: квадрат катета равен произведению гипотенузы на прилежащий к этому катету отрезок гипотенузы.

$$AB^{2}=BH\cdot BC=3\cdot 75=225.$$

Значит, $$AB=\sqrt{225}=15.$$

Проверка себя: второй отрезок гипотенузы $CH=75-3=72$, тогда второй катет $AC=\sqrt{72\cdot 75}=\sqrt{5400}$. Проверим теорему Пифагора: $AB^{2}+AC^{2}=225+5400=5625=75^{2}$ — точно гипотенуза. Сходится.