ID: 00025137
Постройте график функции $$y=\begin{cases} -\dfrac{6}{x}, & x\lt -2\ \text{и}\ x\gt 1,\\[4pt] -3x-3, & -2\le x\le 1.\end{cases}$$
Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Источник: Сборник Ященко 2026
💡 Идея. Прямая $y=kx$ всегда проходит через начало координат, поэтому всё решает только её наклон. Разбери три куска графика по отдельности и посмотри, при каких $k$ каждый из них даёт точку.
Сначала проверим склейку. При $x=-2$ гипербола даёт $-\dfrac{6}{-2}=3$, а отрезок прямой $-3\cdot(-2)-3=3$. При $x=1$ гипербола даёт $-6$, отрезок тоже $-3-3=-6$. Куски стыкуются, график непрерывный.
Итак, график состоит из трёх кусков: левая ветвь гиперболы при $x\lt -2$ (идёт от точки $(-2;\ 3)$ вниз, приближаясь к нулю), отрезок прямой от $(-2;\ 3)$ до $(1;\ -6)$ и правая ветвь гиперболы при $x\gt 1$ (идёт от $-6$ вверх, приближаясь к нулю).
Левая ветвь гиперболы. Из $kx=-\dfrac{6}{x}$ получаем $kx^{2}=-6$, то есть $x^{2}=-\dfrac{6}{k}$ — решения бывают только при $k\lt 0$. Нам нужен отрицательный корень, причём $x\lt -2$, то есть $x^{2}\gt 4$: получаем $-\dfrac{6}{k}\gt 4$. Для отрицательного $k$ это значит $\dfrac{6}{|k|}\gt 4$, то есть $|k|\lt 1{,}5$. Итог: точка есть при $-1{,}5\lt k\lt 0$.
Правая ветвь гиперболы. Тот же корень, но положительный: нужно $x\gt 1$, то есть $-\dfrac{6}{k}\gt 1$, откуда $|k|\lt 6$. Итог: точка есть при $-6\lt k\lt 0$.
Отрезок прямой. Из $kx=-3x-3$ получаем $x(k+3)=-3$. При $k=-3$ решений нет, иначе $x=-\dfrac{3}{k+3}$, и нужно попадание в отрезок $[-2;\ 1]$.
Разберём подробнее. При $k\gt -3$ дробь отрицательна, и условие $x\ge -2$ равносильно $\dfrac{3}{k+3}\le 2$, то есть $k\ge -1{,}5$. При $k\lt -3$ дробь положительна, и условие $x\le 1$ равносильно $k\le -6$.
Теперь складываем.
При $-1{,}5\lt k\lt 0$ работают все три куска сразу: точка на левой ветви, точка на отрезке и точка на правой ветви — ровно три.
При $k=-1{,}5$ левая ветвь точки уже не даёт (её «место» занял конец отрезка $(-2;\ 3)$), остаётся две точки.
При $k\ge 0$ гиперболы вообще не пересекаются с прямой, остаётся одна точка на отрезке.
При $-6\lt k\lt -1{,}5$ отрезок не подходит, остаётся одна точка на правой ветви, а при $k\le -6$ — снова одна точка, теперь на отрезке.
Ровно три общие точки получаются при $-1{,}5\lt k\lt 0$.
Проверка себя: возьмём $k=-1$. Тогда $x^{2}=6$, и точки $x=-\sqrt{6}\approx -2{,}45$ и $x=\sqrt{6}\approx 2{,}45$ попадают в нужные промежутки, а на отрезке $x=-\dfrac{3}{2}=-1{,}5$ — тоже подходит. Три точки есть.