Задание 22 ОГЭ по математике: Постройте график функции y равно система: минус дробь:…

💡 Идея. Прямая y=kx всегда проходит через начало координат, поэтому всё решает только её наклон. Разбери три куска графика по отдельности и посмотри, при каких k каждый из них даёт точку.

Сначала проверим склейку. При x=-2 гипербола даёт -\dfrac{6}{-2}=3, а отрезок прямой -3\cdot(-2)-3=3. При x=1 гипербола даёт -6, отрезок тоже -3-3=-6. Куски стыкуются, график непрерывный.

Итак, график состоит из трёх кусков: левая ветвь гиперболы при x\lt -2 (идёт от точки (-2;\ 3) вниз, приближаясь к нулю), отрезок прямой от (-2;\ 3) до (1;\ -6) и правая ветвь гиперболы при x\gt 1 (идёт от -6 вверх, приближаясь к нулю).

Левая ветвь гиперболы. Из kx=-\dfrac{6}{x} получаем kx^{2}=-6, то есть x^{2}=-\dfrac{6}{k} — решения бывают только при k\lt 0. Нам нужен отрицательный корень, причём x\lt -2, то есть x^{2}\gt 4: получаем -\dfrac{6}{k}\gt 4. Для отрицательного k это значит \dfrac{6}{|k|}\gt 4, то есть |k|\lt 1{,}5. Итог: точка есть при -1{,}5\lt k\lt 0.

Правая ветвь гиперболы. Тот же корень, но положительный: нужно x\gt 1, то есть -\dfrac{6}{k}\gt 1, откуда |k|\lt 6. Итог: точка есть при -6\lt k\lt 0.

Отрезок прямой. Из kx=-3x-3 получаем x(k+3)=-3. При k=-3 решений нет, иначе x=-\dfrac{3}{k+3}, и нужно попадание в отрезок [-2;\ 1].

Разберём подробнее. При k\gt -3 дробь отрицательна, и условие x\ge -2 равносильно \dfrac{3}{k+3}\le 2, то есть k\ge -1{,}5. При k\lt -3 дробь положительна, и условие x\le 1 равносильно k\le -6.

Теперь складываем.

При -1{,}5\lt k\lt 0 работают все три куска сразу: точка на левой ветви, точка на отрезке и точка на правой ветви — ровно три.

При k=-1{,}5 левая ветвь точки уже не даёт (её «место» занял конец отрезка (-2;\ 3)), остаётся две точки.

При k\ge 0 гиперболы вообще не пересекаются с прямой, остаётся одна точка на отрезке.

При -6\lt k\lt -1{,}5 отрезок не подходит, остаётся одна точка на правой ветви, а при k\le -6 — снова одна точка, теперь на отрезке.

Ровно три общие точки получаются при -1{,}5\lt k\lt 0.

Проверка себя: возьмём k=-1. Тогда x^{2}=6, и точки x=-\sqrt{6}\approx -2{,}45 и x=\sqrt{6}\approx 2{,}45 попадают в нужные промежутки, а на отрезке x=-\dfrac{3}{2}=-1{,}5 — тоже подходит. Три точки есть.