Треугольники — Задание 25 ОГЭ по математике №00025135

💡 Идея. Биссектриса подсказывает отношение боковых сторон, а касательная даёт равные углы и пару подобных треугольников. Из подобия отрезки $DA$ и $DB$ выразятся через одно и то же $DC$.

Правило: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Значит, $$\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{13}{15}.$$

Так как $CA\lt CB$, точка $D$ лежит на продолжении стороны $AB$ за точку $A$ — ближе к «короткой» стороне.

Правило: угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду из другой дуги. Поэтому $\angle DCA=\angle ABC$.

Сравним треугольники $DCA$ и $DBC$: угол при вершине $D$ у них общий, а $\angle DCA=\angle DBC$ — только что доказали. Значит, они подобны по двум углам.

Выпишем отношения соответственных сторон:

$$\dfrac{DC}{DB}=\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{CA}{BC}=\dfrac{13}{15}.$$

Отсюда $DA=\dfrac{13}{15}\,DC$ и $DB=\dfrac{15}{13}\,DC$.

Отрезки $DA$ и $DB$ отличаются ровно на сторону $AB$: $$DB-DA=AB=13+15=28.$$

Подставляем:

$$\left(\dfrac{15}{13}-\dfrac{13}{15}\right)DC=28,\qquad \dfrac{225-169}{195}\,DC=28,\qquad \dfrac{56}{195}\,DC=28.$$

$$DC=28\cdot\dfrac{195}{56}=\dfrac{195}{2}=97{,}5.$$

Проверка себя: тогда $DA=\dfrac{13}{15}\cdot 97{,}5=84{,}5$ и $DB=84{,}5+28=112{,}5$. Произведение $84{,}5\cdot 112{,}5=9506{,}25$, а $97{,}5^{2}=9506{,}25$ — свойство касательной выполнено.