Задание 25 ОГЭ по математике: Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM…

💡 Идея. Биссектриса подсказывает отношение боковых сторон, а касательная даёт равные углы и пару подобных треугольников. Из подобия отрезки DA и DB выразятся через одно и то же DC.

Правило: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Значит, \dfrac{CA}{CB}=\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{13}{15}.

Так как CA\lt CB, точка D лежит на продолжении стороны AB за точку A — ближе к «короткой» стороне.

Правило: угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду из другой дуги. Поэтому \angle DCA=\angle ABC.

Сравним треугольники DCA и DBC: угол при вершине D у них общий, а \angle DCA=\angle DBC — только что доказали. Значит, они подобны по двум углам.

Выпишем отношения соответственных сторон:

\dfrac{DC}{DB}=\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{CA}{BC}=\dfrac{13}{15}.

Отсюда DA=\dfrac{13}{15}\,DC и DB=\dfrac{15}{13}\,DC.

Отрезки DA и DB отличаются ровно на сторону AB: DB-DA=AB=13+15=28.

Подставляем:

\left(\dfrac{15}{13}-\dfrac{13}{15}\right)DC=28,\qquad \dfrac{225-169}{195}\,DC=28,\qquad \dfrac{56}{195}\,DC=28.

DC=28\cdot\dfrac{195}{56}=\dfrac{195}{2}=97{,}5.

Проверка себя: тогда DA=\dfrac{13}{15}\cdot 97{,}5=84{,}5 и DB=84{,}5+28=112{,}5. Произведение 84{,}5\cdot 112{,}5=9506{,}25, а 97{,}5^{2}=9506{,}25 — свойство касательной выполнено.