Задание 21 ОГЭ по математике №00025133

💡 Идея. Плот работает как часы задачи: он плывёт ровно со скоростью течения, поэтому по его пути сразу видно общее время. Вычтем час опоздания — получим время лодки туда и обратно.

У плота нет двигателя, он просто дрейфует, поэтому его скорость равна скорости течения — $4$ км/ч.

Плот проплыл $44$ км, значит, он был в пути

$$44:4=11\ \text{ч}.$$

Лодка вышла на час позже и вернулась в $A$ ровно к этому моменту, поэтому она была в пути

$$11-1=10\ \text{ч}.$$

Обозначим скорость лодки в неподвижной воде за $v$ км/ч. По течению течение помогает, против течения — мешает.

Время каждого участка — это путь, делённый на скорость, а их сумма равна $10$ часам:

$$\dfrac{75}{v+4}+\dfrac{75}{v-4}=10.$$

Умножаем обе части на $(v+4)(v-4)=v^{2}-16$:

$$75(v-4)+75(v+4)=10\left(v^{2}-16\right).$$

Слева слагаемые с четвёркой взаимно уничтожаются: $$150v=10v^{2}-160.$$

Делим всё на $10$ и переносим в одну часть: $$v^{2}-15v-16=0.$$

Дискриминант $D=225+64=289$, $\sqrt{D}=17$, корни $v=\dfrac{15\pm 17}{2}$: это $16$ и $-1$. Скорость не бывает отрицательной, поэтому $v=16$.

Проверка себя: по течению $75:(16+4)=3{,}75$ ч, против течения $75:(16-4)=6{,}25$ ч, вместе ровно $10$ ч. Сходится.