Задание 21 ОГЭ по математике: Расстояние между пристанями A и B равно 75 км. Из A в B по…

№2. Задание 21

ID: 00025133

Расстояние между пристанями $A$ и $B$ равно $75$ км. Из $A$ в $B$ по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт $B$ , тотчас повернула обратно и возвратилась в $A$ . К этому времени плот проплыл $44$ км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна $4$ км/ч.

Источник: Сборник Ященко 2026

Решение

💡 Идея. Плот работает как часы задачи: он плывёт ровно со скоростью течения, поэтому по его пути сразу видно общее время. Вычтем час опоздания — получим время лодки туда и обратно.

У плота нет двигателя, он просто дрейфует, поэтому его скорость равна скорости течения — $4$ км/ч.

Плот проплыл $44$ км, значит, он был в пути

$44:4=11\ \text{ч}.$

Лодка вышла на час позже и вернулась в $A$ ровно к этому моменту, поэтому она была в пути

$11-1=10\ \text{ч}.$

Обозначим скорость лодки в неподвижной воде за $v$ км/ч. По течению течение помогает, против течения — мешает.

Лодка: туда по течению, обратно против течения; всего 10 ч

	Скорость, км/ч	Время, ч	Путь, км
Туда (A → B)	$v+4$	$\dfrac{75}{v+4}$	75
Обратно (B → A)	$v-4$	$\dfrac{75}{v-4}$	75

Время каждого участка — это путь, делённый на скорость, а их сумма равна $10$ часам:

$\dfrac{75}{v+4}+\dfrac{75}{v-4}=10.$

Умножаем обе части на $(v+4)(v-4)=v^{2}-16$ :

$75(v-4)+75(v+4)=10\left(v^{2}-16\right).$

Слева слагаемые с четвёркой взаимно уничтожаются: $150v=10v^{2}-160.$

Делим всё на $10$ и переносим в одну часть: $v^{2}-15v-16=0.$

Дискриминант $D=225+64=289$ , $\sqrt{D}=17$ , корни $v=\dfrac{15\pm 17}{2}$ : это $16$ и $-1$ . Скорость не бывает отрицательной, поэтому $v=16$ .

Проверка себя: по течению $75:(16+4)=3{,}75$ ч, против течения $75:(16-4)=6{,}25$ ч, вместе ровно $10$ ч. Сходится.

Ответ

16 км/ч