ID: 00025133
Расстояние между пристанями $A$ и $B$ равно $75$ км. Из $A$ в $B$ по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт $B$, тотчас повернула обратно и возвратилась в $A$. К этому времени плот проплыл $44$ км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна $4$ км/ч.
Источник: Сборник Ященко 2026
💡 Идея. Плот работает как часы задачи: он плывёт ровно со скоростью течения, поэтому по его пути сразу видно общее время. Вычтем час опоздания — получим время лодки туда и обратно.
У плота нет двигателя, он просто дрейфует, поэтому его скорость равна скорости течения — $4$ км/ч.
Плот проплыл $44$ км, значит, он был в пути
$$44:4=11\ \text{ч}.$$
Лодка вышла на час позже и вернулась в $A$ ровно к этому моменту, поэтому она была в пути
$$11-1=10\ \text{ч}.$$
Обозначим скорость лодки в неподвижной воде за $v$ км/ч. По течению течение помогает, против течения — мешает.
| Скорость, км/ч | Время, ч | Путь, км |
|---|---|---|---|
Туда (A → B) | $v+4$ | $\dfrac{75}{v+4}$ | $75$ |
Обратно (B → A) | $v-4$ | $\dfrac{75}{v-4}$ | $75$ |
Время каждого участка — это путь, делённый на скорость, а их сумма равна $10$ часам:
$$\dfrac{75}{v+4}+\dfrac{75}{v-4}=10.$$
Умножаем обе части на $(v+4)(v-4)=v^{2}-16$:
$$75(v-4)+75(v+4)=10\left(v^{2}-16\right).$$
Слева слагаемые с четвёркой взаимно уничтожаются: $$150v=10v^{2}-160.$$
Делим всё на $10$ и переносим в одну часть: $$v^{2}-15v-16=0.$$
Дискриминант $D=225+64=289$, $\sqrt{D}=17$, корни $v=\dfrac{15\pm 17}{2}$: это $16$ и $-1$. Скорость не бывает отрицательной, поэтому $v=16$.
Проверка себя: по течению $75:(16+4)=3{,}75$ ч, против течения $75:(16-4)=6{,}25$ ч, вместе ровно $10$ ч. Сходится.