ID: 00025131
Биссектриса $CM$ треугольника $ABC$ делит сторону $AB$ на отрезки $AM=10$ и $MB=18$. Касательная к окружности, описанной около треугольника $ABC$, проходит через точку $C$ и пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Найдите $CD$.
Источник: Сборник Ященко 2026
💡 Идея. Биссектриса подсказывает отношение боковых сторон, а касательная даёт равные углы и пару подобных треугольников. Из подобия все три отрезка при точке $D$ выразятся через одно и то же число.
Правило: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Значит, $$\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{10}{18}=\dfrac{5}{9}.$$
Так как $CA\lt CB$, точка $D$ лежит на продолжении стороны $AB$ за точку $A$ — то есть ближе к «короткой» стороне.
Правило: угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду из другой дуги. Поэтому $\angle DCA=\angle ABC$.
Сравним треугольники $DCA$ и $DBC$: угол при вершине $D$ у них общий, а $\angle DCA=\angle DBC$ — только что доказали. Значит, треугольники подобны по двум углам.
Выпишем отношения соответственных сторон (в треугольнике $DCA$ им отвечают $DC$, $DA$, $CA$, в треугольнике $DBC$ — $DB$, $DC$, $BC$):
$$\dfrac{DC}{DB}=\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{CA}{BC}=\dfrac{5}{9}.$$
Отсюда $DA=\dfrac{5}{9}\,DC$ и $DB=\dfrac{9}{5}\,DC$.
Но отрезки $DA$ и $DB$ отличаются ровно на сторону $AB$: $$DB-DA=AB=10+18=28.$$
Подставляем:
$$\left(\dfrac{9}{5}-\dfrac{5}{9}\right)DC=28,\qquad \dfrac{81-25}{45}\,DC=28,\qquad \dfrac{56}{45}\,DC=28.$$
$$DC=28\cdot\dfrac{45}{56}=\dfrac{45}{2}=22{,}5.$$
Проверка себя: тогда $DA=\dfrac{5}{9}\cdot 22{,}5=12{,}5$ и $DB=12{,}5+28=40{,}5$. Произведение $12{,}5\cdot 40{,}5=506{,}25$, а $22{,}5^{2}=506{,}25$ — свойство касательной («квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть») выполнено.