Задание 25 ОГЭ по математике: Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM…

💡 Идея. Биссектриса подсказывает отношение боковых сторон, а касательная даёт равные углы и пару подобных треугольников. Из подобия все три отрезка при точке D выразятся через одно и то же число.

Правило: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Значит, \dfrac{CA}{CB}=\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{10}{18}=\dfrac{5}{9}.

Так как CA\lt CB, точка D лежит на продолжении стороны AB за точку A — то есть ближе к «короткой» стороне.

Правило: угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду из другой дуги. Поэтому \angle DCA=\angle ABC.

Сравним треугольники DCA и DBC: угол при вершине D у них общий, а \angle DCA=\angle DBC — только что доказали. Значит, треугольники подобны по двум углам.

Выпишем отношения соответственных сторон (в треугольнике DCA им отвечают DC, DA, CA, в треугольнике DBC — DB, DC, BC):

\dfrac{DC}{DB}=\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{CA}{BC}=\dfrac{5}{9}.

Отсюда DA=\dfrac{5}{9}\,DC и DB=\dfrac{9}{5}\,DC.

Но отрезки DA и DB отличаются ровно на сторону AB: DB-DA=AB=10+18=28.

Подставляем:

\left(\dfrac{9}{5}-\dfrac{5}{9}\right)DC=28,\qquad \dfrac{81-25}{45}\,DC=28,\qquad \dfrac{56}{45}\,DC=28.

DC=28\cdot\dfrac{45}{56}=\dfrac{45}{2}=22{,}5.

Проверка себя: тогда DA=\dfrac{5}{9}\cdot 22{,}5=12{,}5 и DB=12{,}5+28=40{,}5. Произведение 12{,}5\cdot 40{,}5=506{,}25, а 22{,}5^{2}=506{,}25 — свойство касательной («квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть») выполнено.