Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00025128

💡 Идея. Модуль раскрывается по-разному внутри и снаружи отрезка от $-2$ до $2$: снаружи график окажется прямой, внутри — параболой. Дальше просто считаем точки на каждом уровне.

Выражение под модулем $x^{2}-4$ обращается в нуль при $x=-2$ и $x=2$ — это и есть точки, где меняется формула.

При $|x|\ge 2$ имеем $x^{2}-4\ge 0$, поэтому $\left|x^{2}-4\right|=x^{2}-4$ и

$$y=x^{2}-2x-\left(x^{2}-4\right)-3=-2x+1.$$

Это прямая. На луче $x\le -2$ она даёт значения $y\ge 5$, на луче $x\ge 2$ — значения $y\le -3$.

При $|x|\lt 2$ имеем $x^{2}-4\lt 0$, поэтому $\left|x^{2}-4\right|=4-x^{2}$ и

$$y=x^{2}-2x+x^{2}-4-3=2x^{2}-2x-7.$$

Это парабола ветвями вверх. Абсцисса вершины $x_{0}=\dfrac{2}{2\cdot 2}=0{,}5$, а значение в вершине $y_{0}=2\cdot 0{,}25-1-7=-7{,}5$.

На концах куска: при $x=-2$ получаем $8+4-7=5$, при $x=2$ получаем $8-4-7=-3$ — ровно те же значения, что дают лучи, поэтому график склеивается без разрывов.

Теперь мысленно двигаем прямую $y=m$ и считаем точки на каждом уровне.

При $m\gt -3$ точка ровно одна: либо на левом луче (при $m\ge 5$), либо на убывающей ветви параболы (при $-3\lt m\lt 5$).

При $m=-3$ точек две: конец правого луча $x=2$ и точка $x=-1$ на параболе (из $2x^{2}-2x-7=-3$ получаем $x^{2}-x-2=0$, то есть $x=-1$ или $x=2$).

При $-7{,}5\lt m\lt -3$ точек три: одна на правом луче и две на параболе.

При $m=-7{,}5$ точек две: вершина параболы $x=0{,}5$ и точка правого луча.

При $m\lt -7{,}5$ точка одна — только на правом луче.

Ровно две общие точки получаются при $m=-3$ и при $m=-7{,}5$.

Проверка себя: возьмём $m=-5$ — это между $-7{,}5$ и $-3$. Тогда $2x^{2}-2x-7=-5$ даёт два корня внутри $(-2;\ 2)$, и ещё одна точка на луче $-2x+1=-5$, то есть $x=3$: точек три, а не две. Границы найдены верно.