Задание 22 ОГЭ по математике: Постройте график функции y равно x в квадрате минус 2x минус…

💡 Идея. Модуль раскрывается по-разному внутри и снаружи отрезка от -2 до 2: снаружи график окажется прямой, внутри — параболой. Дальше просто считаем точки на каждом уровне.

Выражение под модулем x^{2}-4 обращается в нуль при x=-2 и x=2 — это и есть точки, где меняется формула.

При |x|\ge 2 имеем x^{2}-4\ge 0, поэтому \left|x^{2}-4\right|=x^{2}-4 и

y=x^{2}-2x-\left(x^{2}-4\right)-3=-2x+1.

Это прямая. На луче x\le -2 она даёт значения y\ge 5, на луче x\ge 2 — значения y\le -3.

При |x|\lt 2 имеем x^{2}-4\lt 0, поэтому \left|x^{2}-4\right|=4-x^{2} и

y=x^{2}-2x+x^{2}-4-3=2x^{2}-2x-7.

Это парабола ветвями вверх. Абсцисса вершины x_{0}=\dfrac{2}{2\cdot 2}=0{,}5, а значение в вершине y_{0}=2\cdot 0{,}25-1-7=-7{,}5.

На концах куска: при x=-2 получаем 8+4-7=5, при x=2 получаем 8-4-7=-3 — ровно те же значения, что дают лучи, поэтому график склеивается без разрывов.

Теперь мысленно двигаем прямую y=m и считаем точки на каждом уровне.

При m\gt -3 точка ровно одна: либо на левом луче (при m\ge 5), либо на убывающей ветви параболы (при -3\lt m\lt 5).

При m=-3 точек две: конец правого луча x=2 и точка x=-1 на параболе (из 2x^{2}-2x-7=-3 получаем x^{2}-x-2=0, то есть x=-1 или x=2).

При -7{,}5\lt m\lt -3 точек три: одна на правом луче и две на параболе.

При m=-7{,}5 точек две: вершина параболы x=0{,}5 и точка правого луча.

При m\lt -7{,}5 точка одна — только на правом луче.

Ровно две общие точки получаются при m=-3 и при m=-7{,}5.

Проверка себя: возьмём m=-5 — это между -7{,}5 и -3. Тогда 2x^{2}-2x-7=-5 даёт два корня внутри (-2;\ 2), и ещё одна точка на луче -2x+1=-5, то есть x=3: точек три, а не две. Границы найдены верно.