Уравнения — Задание 20 ОГЭ по математике №00025127

💡 Идея. Слева и справа стоят кубы. Куб — «честная» функция: разным числам отвечают разные кубы, поэтому от степеней можно избавиться сразу, без разбора случаев.

Заметим, что $x^{6}=\left(x^{2}\right)^{3}$, поэтому уравнение переписывается так:

$$\left(x^{2}\right)^{3}=(8-7x)^{3}.$$

Правило: кубы двух чисел равны тогда и только тогда, когда равны сами числа (нечётная степень сохраняет знак и строго возрастает).

$$x^{2}=8-7x.$$

Переносим всё влево: $$x^{2}+7x-8=0.$$

Дискриминант $D=49+32=81$, $\sqrt{D}=9$, корни $x=\dfrac{-7\pm 9}{2}$ — это $x=1$ и $x=-8$.

Проверка себя: при $x=1$ слева $1^{6}=1$, справа $(8-7)^{3}=1$; при $x=-8$ слева $(-8)^{6}=262144$, справа $(8+56)^{3}=64^{3}=262144$. Оба корня подходят.