Квадратные… — Задание 13 ОГЭ по математике №00025121

У квадратного трёхчлена $x^2-2x+65$ найдём дискриминант — он подскажет, пересекает ли парабола ось $x$.

$$D=(-2)^2-4\cdot1\cdot65=4-260=-256.$$

Дискриминант отрицателен, значит, у уравнения $x^2-2x+65=0$ нет корней — график параболы $y=x^2-2x+65$ не пересекает ось $x$ вообще.

Коэффициент при $x^2$ положителен ($+1$), значит, ветви параболы направлены вверх, и весь график лежит выше оси $x$ — то есть $x^2-2x+65>0$ выполняется при любом $x$, а неравенство $x^2-2x+65<0$ никогда не выполняется.

Значит, неравенство без решений — это вариант 3) $x^2-2x+65<0$.

Проверка: у трёхчлена $x^2-2x-65$ дискриминант $4+260=264>0$ — у него корни есть, значит варианты 1) и 2) решения имеют (хотя бы часть числовой прямой); а вариант 4) выполняется почти везде, кроме, возможно, пары точек — то есть решения у него точно есть.