Треугольники — Задание 25 ОГЭ по математике №00025109

💡 Идея. Биссектриса делит прямой угол пополам, поэтому перпендикуляр $CH$ отсекает равнобедренный прямоугольный треугольник — из него сразу находится $CH$. А $HL$ — это просто разность двух отрезков, лежащих на одной прямой.

Раз $AB$ — катет, а $AC$ — гипотенуза, прямой угол находится при вершине $B$.

По теореме Пифагора находим второй катет:

$$BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{\left(3\sqrt{41}\right)^{2}-15^{2}}=\sqrt{9\cdot 41-225}=\sqrt{369-225}=\sqrt{144}=12.$$

$BL$ — биссектриса прямого угла $ABC$, поэтому она делит $90^\circ$ пополам: $\angle ABL=\angle LBC=45^\circ$.

В треугольнике $BHC$ угол при $H$ прямой (ведь $CH\perp BL$), а угол при $B$ равен $45^\circ$. Значит, третий угол тоже $45^\circ$, и треугольник равнобедренный:

$$CH=BH=BC\cdot\sin 45^\circ=12\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}.$$

Теперь найдём длину самой биссектрисы $BL$. Удобно посчитать площадь треугольника $ABC$ двумя способами.

Первый способ — через катеты: $S=\dfrac{1}{2}\cdot 15\cdot 12=90$.

Второй способ — разрезать треугольник биссектрисой на два: $S=S_{ABL}+S_{LBC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot BL\cdot\sin 45^\circ+\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot BL\cdot\sin 45^\circ$.

Вынесем общий множитель: $S=\dfrac{1}{2}\cdot BL\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot(15+12)=\dfrac{27\sqrt{2}}{4}\,BL$.

Приравниваем: $\dfrac{27\sqrt{2}}{4}\,BL=90$, откуда

$$BL=\dfrac{360}{27\sqrt{2}}=\dfrac{40}{3\sqrt{2}}=\dfrac{20\sqrt{2}}{3}.$$

Точки $H$ и $L$ лежат на одной прямой $BL$, причём $BH=6\sqrt{2}=\dfrac{18\sqrt{2}}{3}$ меньше, чем $BL=\dfrac{20\sqrt{2}}{3}$, поэтому $H$ лежит между $B$ и $L$, и

$$HL=BL-BH=\dfrac{20\sqrt{2}}{3}-\dfrac{18\sqrt{2}}{3}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.$$

В треугольнике $CHL$ сторона $HL$ лежит на прямой $BL$, а $CH$ этой прямой перпендикулярен, значит, $CH$ — высота к стороне $HL$:

$$S_{CHL}=\dfrac{1}{2}\cdot HL\cdot CH=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\cdot 6\sqrt{2}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{12\cdot 2}{3}=\dfrac{1}{2}\cdot 8=4.$$

Проверка себя: $BL\approx 9{,}43$, а $BH\approx 8{,}49$ — точка $H$ действительно попала внутрь отрезка $BL$, и площадь получилась положительной.