Задание 22 ОГЭ по математике: Постройте график функции y равно система: 3 минус модуль x…

💡 Идея. Разбери график на простые куски: слева «домик» из двух лучей, справа кусок параболы. Потом мысленно двигай горизонтальную прямую снизу вверх и на каждом уровне считай точки.

Левый кусок (x\lt 2): y=3-|x|. Раскроем модуль. При x\le 0 это y=3+x — луч, поднимающийся до точки (0;\ 3). При 0\lt x\lt 2 это y=3-x — кусок, спускающийся от 3 до значения 1 при подходе к x=2, причём сама точка x=2 левому куску не принадлежит.

Правый кусок (x\ge 2): y=x^{2}-8x+11=(x-4)^{2}-5 — парабола ветвями вверх с вершиной (4;\ -5). В точке x=2 она даёт 4-16+11=-1, дальше спускается до -5 и снова растёт.

Обрати внимание: в точке x=2 график разрывается — левый кусок стремится к 1, а правый начинается с -1.

Считаем точки на левом куске. При m\gt 3 точек нет, при m=3 одна (вершина «домика»), при 1\lt m\lt 3 две, а при m\le 1 только одна — на луче y=3+x (вторая точка ушла бы за x=2, куда левый кусок не заходит).

Считаем точки на правом куске. Решаем (x-4)^{2}=m+5: корни x=4\pm\sqrt{m+5}. При m\lt -5 корней нет, при m=-5 один. Меньший корень попадает в область x\ge 2, когда \sqrt{m+5}\le 2, то есть при m\le -1. Значит, при -5\lt m\le -1 точек две, а при m\gt -1 — одна.

Складываем и получаем: при -5\lt m\le -1 всего 1+2=3 точки, при 1\lt m\lt 3 всего 2+1=3 точки.

Остальные уровни не подходят: при m\lt -5 — одна точка, при m=-5 — две, при -1\lt m\le 1 — две, при m=3 — две, при m\gt 3 — одна.

Проверка себя: возьмём m=-1. Слева 3+x=-1 даёт x=-4, справа (x-4)^{2}=4 даёт x=2 и x=6 — обе точки годятся, всего три. А при m=-0{,}5 правый корень x=2 уже «выпал» из области, и точек остаётся две — граница m=-1 входит в ответ.