Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00025107

💡 Идея. Разбери график на простые куски: слева «домик» из двух лучей, справа кусок параболы. Потом мысленно двигай горизонтальную прямую снизу вверх и на каждом уровне считай точки.

Левый кусок ($x\lt 2$): $y=3-|x|$. Раскроем модуль. При $x\le 0$ это $y=3+x$ — луч, поднимающийся до точки $(0;\ 3)$. При $0\lt x\lt 2$ это $y=3-x$ — кусок, спускающийся от $3$ до значения $1$ при подходе к $x=2$, причём сама точка $x=2$ левому куску не принадлежит.

Правый кусок ($x\ge 2$): $y=x^{2}-8x+11=(x-4)^{2}-5$ — парабола ветвями вверх с вершиной $(4;\ -5)$. В точке $x=2$ она даёт $4-16+11=-1$, дальше спускается до $-5$ и снова растёт.

Обрати внимание: в точке $x=2$ график разрывается — левый кусок стремится к $1$, а правый начинается с $-1$.

Считаем точки на левом куске. При $m\gt 3$ точек нет, при $m=3$ одна (вершина «домика»), при $1\lt m\lt 3$ две, а при $m\le 1$ только одна — на луче $y=3+x$ (вторая точка ушла бы за $x=2$, куда левый кусок не заходит).

Считаем точки на правом куске. Решаем $(x-4)^{2}=m+5$: корни $x=4\pm\sqrt{m+5}$. При $m\lt -5$ корней нет, при $m=-5$ один. Меньший корень попадает в область $x\ge 2$, когда $\sqrt{m+5}\le 2$, то есть при $m\le -1$. Значит, при $-5\lt m\le -1$ точек две, а при $m\gt -1$ — одна.

Складываем и получаем: при $-5\lt m\le -1$ всего $1+2=3$ точки, при $1\lt m\lt 3$ всего $2+1=3$ точки.

Остальные уровни не подходят: при $m\lt -5$ — одна точка, при $m=-5$ — две, при $-1\lt m\le 1$ — две, при $m=3$ — две, при $m\gt 3$ — одна.

Проверка себя: возьмём $m=-1$. Слева $3+x=-1$ даёт $x=-4$, справа $(x-4)^{2}=4$ даёт $x=2$ и $x=6$ — обе точки годятся, всего три. А при $m=-0{,}5$ правый корень $x=2$ уже «выпал» из области, и точек остаётся две — граница $m=-1$ входит в ответ.