Уравнения — Задание 20 ОГЭ по математике №00025105

💡 Идея. Слева и справа стоят одинаковые чётные степени, поэтому уравнение равносильно равенству модулей оснований — а это распадается на два обычных квадратных уравнения.

Заметим, что $x^{8}=\left(x^{2}\right)^{4}$, поэтому уравнение можно переписать так:

$$\left(x^{2}\right)^{4}=(12-x)^{4}.$$

Правило: две четвёртые степени равны тогда и только тогда, когда равны модули оснований (чётная степень «стирает» знак).

$$\left|x^{2}\right|=|12-x|.$$

Квадрат всегда неотрицателен, поэтому $\left|x^{2}\right|=x^{2}$, и остаётся два случая: основание справа либо совпадает с $x^{2}$, либо противоположно ему.

Первый случай: $x^{2}=12-x$, то есть $x^{2}+x-12=0$. Дискриминант $D=1+48=49$, $\sqrt{D}=7$, корни $x=\dfrac{-1\pm 7}{2}$ — это $x=3$ и $x=-4$.

Второй случай: $x^{2}=-(12-x)=x-12$, то есть $x^{2}-x+12=0$. Дискриминант $D=1-48=-47\lt 0$, корней нет.

Значит, у уравнения ровно два корня: $-4$ и $3$.

Проверка себя: при $x=3$ слева $3^{8}=6561$, справа $9^{4}=6561$; при $x=-4$ слева $(-4)^{8}=65536$, справа $16^{4}=65536$. Оба корня подходят.