Задание 20 ОГЭ по математике: Решите уравнение x в степени 8 равно левая круглая скобка 12…

💡 Идея. Слева и справа стоят одинаковые чётные степени, поэтому уравнение равносильно равенству модулей оснований — а это распадается на два обычных квадратных уравнения.

Заметим, что x^{8}=\left(x^{2}\right)^{4}, поэтому уравнение можно переписать так:

\left(x^{2}\right)^{4}=(12-x)^{4}.

Правило: две четвёртые степени равны тогда и только тогда, когда равны модули оснований (чётная степень «стирает» знак).

\left|x^{2}\right|=|12-x|.

Квадрат всегда неотрицателен, поэтому \left|x^{2}\right|=x^{2}, и остаётся два случая: основание справа либо совпадает с x^{2}, либо противоположно ему.

Первый случай: x^{2}=12-x, то есть x^{2}+x-12=0. Дискриминант D=1+48=49, \sqrt{D}=7, корни x=\dfrac{-1\pm 7}{2} — это x=3 и x=-4.

Второй случай: x^{2}=-(12-x)=x-12, то есть x^{2}-x+12=0. Дискриминант D=1-48=-47\lt 0, корней нет.

Значит, у уравнения ровно два корня: -4 и 3.

Проверка себя: при x=3 слева 3^{8}=6561, справа 9^{4}=6561; при x=-4 слева (-4)^{8}=65536, справа 16^{4}=65536. Оба корня подходят.