Задание 25 ОГЭ по математике: Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности,…

💡 Идея. Окружность на медиане как на диаметре спрятала в условии прямой угол — вытащим его, и задача превратится в простой прямоугольный треугольник.

Обозначим N — середину стороны BC. По условию окружность построена на медиане BM как на диаметре и проходит через N.

Правило: вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой. Значит, \angle BNM=90^\circ, то есть MN\perp BC.

Теперь смотрим на отрезок MN: M — середина AC (основание медианы BM), N — середина BC. Правило: отрезок, соединяющий середины двух сторон, — средняя линия, она параллельна третьей стороне: MN\parallel AB.

Раз MN\perp BC и MN\parallel AB, то и AB\perp BC: треугольник ABC прямоугольный с прямым углом B.

Правило: у прямоугольного треугольника центр описанной окружности — середина гипотенузы, поэтому гипотенуза равна двум радиусам:

AC=2R=2\cdot 18=36.

Гипотенуза — самая длинная сторона, значит, «две меньшие стороны» — это катеты. Обозначим их 3x и x и запишем теорему Пифагора:

(3x)^{2}+x^{2}=36^{2},\qquad 10x^{2}=1296,\qquad x^{2}=129{,}6.

Обрати внимание: сами катеты можно не извлекать — для площади хватит x^{2}:

S=\dfrac{1}{2}\cdot 3x\cdot x=\dfrac{3x^{2}}{2}=\dfrac{3\cdot 129{,}6}{2}=194{,}4.

Проверка: x=\sqrt{129{,}6}\approx 11{,}4, катеты \approx 11{,}4 и 34{,}2 — оба меньше гипотенузы 36, так что «двумя меньшими сторонами» они и были. Сходится.