Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00025090

💡 Идея. Окружность на медиане как на диаметре спрятала в условии прямой угол — вытащим его, и задача превратится в простой прямоугольный треугольник.

Обозначим $N$ — середину стороны $BC$. По условию окружность построена на медиане $BM$ как на диаметре и проходит через $N$.

Правило: вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой. Значит, $\angle BNM=90^\circ$, то есть $MN\perp BC$.

Теперь смотрим на отрезок $MN$: $M$ — середина $AC$ (основание медианы $BM$), $N$ — середина $BC$. Правило: отрезок, соединяющий середины двух сторон, — средняя линия, она параллельна третьей стороне: $MN\parallel AB$.

Раз $MN\perp BC$ и $MN\parallel AB$, то и $AB\perp BC$: треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом $B$.

Правило: у прямоугольного треугольника центр описанной окружности — середина гипотенузы, поэтому гипотенуза равна двум радиусам:

$$AC=2R=2\cdot 18=36.$$

Гипотенуза — самая длинная сторона, значит, «две меньшие стороны» — это катеты. Обозначим их $3x$ и $x$ и запишем теорему Пифагора:

$$(3x)^{2}+x^{2}=36^{2},\qquad 10x^{2}=1296,\qquad x^{2}=129{,}6.$$

Обрати внимание: сами катеты можно не извлекать — для площади хватит $x^{2}$:

$$S=\dfrac{1}{2}\cdot 3x\cdot x=\dfrac{3x^{2}}{2}=\dfrac{3\cdot 129{,}6}{2}=194{,}4.$$

Проверка: $x=\sqrt{129{,}6}\approx 11{,}4$, катеты $\approx 11{,}4$ и $34{,}2$ — оба меньше гипотенузы $36$, так что «двумя меньшими сторонами» они и были. Сходится.