Задание 22 ОГЭ по математике: Постройте график функции y равно дробь: числитель: 3, 5 модуль x…

Сначала упростим дробь — раскроем модуль отдельно справа и слева от нуля.

При x\gt 0 модуль раскрывается как |x|=x. Вынесем в знаменателе x за скобку:

y=\dfrac{3{,}5x-1}{x-3{,}5x^{2}}=\dfrac{3{,}5x-1}{-x(3{,}5x-1)}=-\dfrac{1}{x}.

Обрати внимание: мы сократили на 3{,}5x-1, а сокращать можно только ненулевое — значит, x\ne\dfrac{2}{7}: в этой точке на графике дырка. Её ордината: y=-1:\dfrac{2}{7}=-3{,}5, выколотая точка \left(\dfrac{2}{7};\ -3{,}5\right).

При x\lt 0 модуль меняет знак: |x|=-x:

y=\dfrac{-3{,}5x-1}{-x-3{,}5x^{2}}=\dfrac{-(3{,}5x+1)}{-x(1+3{,}5x)}=\dfrac{1}{x},

и снова дырка там, где сократили: x=-\dfrac{2}{7}, точка \left(-\dfrac{2}{7};\ -3{,}5\right).

Итог: график — две ветви гиперболы, обе ниже оси абсцисс (при x\gt 0 это y=-\dfrac{1}{x}\lt 0, при x\lt 0 это y=\dfrac{1}{x}\lt 0), симметричные относительно оси y, с двумя выколотыми точками на высоте -3{,}5.

Теперь прямая y=kx — она проходит через начало координат. Ищем k, при которых общих точек нет.

Случай k=0: прямая y=0 — ось абсцисс. Ветви к ней только приближаются, но не достигают: общих точек нет. Подходит.

Случай k\gt 0: прямая идёт через I и III четверти и пересекает левую ветвь: kx=\dfrac{1}{x} даёт x^{2}=\dfrac{1}{k}, то есть x=-\dfrac{1}{\sqrt{k}}. Точка пересечения есть всегда — кроме случая, когда она попадает ровно в дырку: -\dfrac{1}{\sqrt{k}}=-\dfrac{2}{7}, откуда \sqrt{k}=\dfrac{7}{2}, k=12{,}25. С правой ветвью пересечений нет: kx=-\dfrac{1}{x} даёт x^{2}=-\dfrac{1}{k}\lt 0. Значит, k=12{,}25 подходит.

Случай k\lt 0 симметричен: прямая пересекает правую ветвь kx=-\dfrac{1}{x}, x^{2}=-\dfrac{1}{k}, x=\sqrt{-\dfrac{1}{k}}; пересечение пропадает, только если попадает в дырку x=\dfrac{2}{7}: -\dfrac{1}{k}=\dfrac{4}{49}, откуда k=-12{,}25. Подходит.