Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00025088

Сначала упростим дробь — раскроем модуль отдельно справа и слева от нуля.

При $x\gt 0$ модуль раскрывается как $|x|=x$. Вынесем в знаменателе $x$ за скобку:

$$y=\dfrac{3{,}5x-1}{x-3{,}5x^{2}}=\dfrac{3{,}5x-1}{-x(3{,}5x-1)}=-\dfrac{1}{x}.$$

Обрати внимание: мы сократили на $3{,}5x-1$, а сокращать можно только ненулевое — значит, $x\ne\dfrac{2}{7}$: в этой точке на графике дырка. Её ордината: $y=-1:\dfrac{2}{7}=-3{,}5$, выколотая точка $\left(\dfrac{2}{7};\ -3{,}5\right)$.

При $x\lt 0$ модуль меняет знак: $|x|=-x$:

$$y=\dfrac{-3{,}5x-1}{-x-3{,}5x^{2}}=\dfrac{-(3{,}5x+1)}{-x(1+3{,}5x)}=\dfrac{1}{x},$$

и снова дырка там, где сократили: $x=-\dfrac{2}{7}$, точка $\left(-\dfrac{2}{7};\ -3{,}5\right)$.

Итог: график — две ветви гиперболы, обе ниже оси абсцисс (при $x\gt 0$ это $y=-\dfrac{1}{x}\lt 0$, при $x\lt 0$ это $y=\dfrac{1}{x}\lt 0$), симметричные относительно оси $y$, с двумя выколотыми точками на высоте $-3{,}5$.

Теперь прямая $y=kx$ — она проходит через начало координат. Ищем $k$, при которых общих точек нет.

Случай $k=0$: прямая $y=0$ — ось абсцисс. Ветви к ней только приближаются, но не достигают: общих точек нет. Подходит.

Случай $k\gt 0$: прямая идёт через I и III четверти и пересекает левую ветвь: $kx=\dfrac{1}{x}$ даёт $x^{2}=\dfrac{1}{k}$, то есть $x=-\dfrac{1}{\sqrt{k}}$. Точка пересечения есть всегда — кроме случая, когда она попадает ровно в дырку: $-\dfrac{1}{\sqrt{k}}=-\dfrac{2}{7}$, откуда $\sqrt{k}=\dfrac{7}{2}$, $k=12{,}25$. С правой ветвью пересечений нет: $kx=-\dfrac{1}{x}$ даёт $x^{2}=-\dfrac{1}{k}\lt 0$. Значит, $k=12{,}25$ подходит.

Случай $k\lt 0$ симметричен: прямая пересекает правую ветвь $kx=-\dfrac{1}{x}$, $x^{2}=-\dfrac{1}{k}$, $x=\sqrt{-\dfrac{1}{k}}$; пересечение пропадает, только если попадает в дырку $x=\dfrac{2}{7}$: $-\dfrac{1}{k}=\dfrac{4}{49}$, откуда $k=-12{,}25$. Подходит.