ID: 00025087
Имеются два сосуда, содержащие 4 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 57 % кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60 % кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом растворе?
Источник: Сборник Ященко 2026
Обозначим концентрацию первого раствора за $x\%$, второго — за $y\%$.
Смешивание | Масса раствора, кг | Кислота, кг |
|---|---|---|
Весь 1-й + весь 2-й | $4+16=20$ | $0{,}04x+0{,}16y$ |
Поровну (по $m$ кг) | $2m$ | $0{,}01mx+0{,}01my$ |
Первое смешивание: сливаем всё. Кислоты в первом сосуде $4\cdot\dfrac{x}{100}$ кг, во втором $16\cdot\dfrac{y}{100}$ кг, а в смеси $57\%$ от $20$ кг:
$$\dfrac{4x}{100}+\dfrac{16y}{100}=\dfrac{57\cdot 20}{100},\qquad 4x+16y=1140,\qquad x+4y=285.$$
Второе смешивание: берём равные массы. Обрати внимание: когда массы равны, концентрация смеси — это просто среднее арифметическое концентраций:
$$\dfrac{x+y}{2}=60,\qquad x+y=120.$$
Вычитаем из первого уравнения второе:
$$(x+4y)-(x+y)=285-120,\qquad 3y=165,\qquad y=55.$$
Тогда $x=120-55=65$.
В первом растворе $65\%$ кислоты.
Проверка: кислоты в общей смеси $4\cdot 0{,}65+16\cdot 0{,}55=2{,}6+8{,}8=11{,}4$ кг — это $\dfrac{11{,}4}{20}=57\%$; среднее $\dfrac{65+55}{2}=60\%$. Сходится.