Треугольники — Задание 25 ОГЭ по математике №00025073

💡 Идея. окружность на диаметре $BM$ подарит прямой угол, из него вылезет средняя линия — и окажется, что треугольник прямоугольный.

Пусть $N$ — середина стороны $BC$. По условию окружность с диаметром $BM$ проходит через $N$.

Правило: вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой. Значит, $\angle BNM=90^{\circ}$, то есть $MN\perp BC$.

Теперь посмотрим на отрезок $MN$ другими глазами: $M$ — середина $AC$ (ведь $BM$ — медиана), $N$ — середина $BC$. Правило: отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, — средняя линия, она параллельна третьей стороне: $MN\parallel AB$.

Обрати внимание, что получилось: $MN\perp BC$ и одновременно $MN\parallel AB$. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных — она перпендикулярна и второй:

$$AB\perp BC,$$

то есть треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом $B$.

Правило: центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы, а сама гипотенуза равна двум радиусам:

$$AC=2R=2\cdot 12=24.$$

Гипотенуза — самая длинная сторона, поэтому «две меньшие стороны» — это катеты. Обозначим их $2t$ и $t$ и применим теорему Пифагора:

$$(2t)^{2}+t^{2}=24^{2},\qquad 5t^{2}=576,\qquad t^{2}=115{,}2.$$

Площадь прямоугольного треугольника — половина произведения катетов:

$$S=\dfrac{1}{2}\cdot 2t\cdot t=t^{2}=115{,}2.$$

Проверка себя: даже извлекать корень не пришлось — площадь совпала с $t^{2}$, и число $5t^{2}=576$ делится ровно: $576:5=115{,}2$. Сходится.