Задание 25 ОГЭ по математике: Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности,…

💡 Идея. окружность на диаметре BM подарит прямой угол, из него вылезет средняя линия — и окажется, что треугольник прямоугольный.

Пусть N — середина стороны BC. По условию окружность с диаметром BM проходит через N.

Правило: вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой. Значит, \angle BNM=90^{\circ}, то есть MN\perp BC.

Теперь посмотрим на отрезок MN другими глазами: M — середина AC (ведь BM — медиана), N — середина BC. Правило: отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, — средняя линия, она параллельна третьей стороне: MN\parallel AB.

Обрати внимание, что получилось: MN\perp BC и одновременно MN\parallel AB. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных — она перпендикулярна и второй:

AB\perp BC,

то есть треугольник ABC прямоугольный с прямым углом B.

Правило: центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы, а сама гипотенуза равна двум радиусам:

AC=2R=2\cdot 12=24.

Гипотенуза — самая длинная сторона, поэтому «две меньшие стороны» — это катеты. Обозначим их 2t и t и применим теорему Пифагора:

(2t)^{2}+t^{2}=24^{2},\qquad 5t^{2}=576,\qquad t^{2}=115{,}2.

Площадь прямоугольного треугольника — половина произведения катетов:

S=\dfrac{1}{2}\cdot 2t\cdot t=t^{2}=115{,}2.

Проверка себя: даже извлекать корень не пришлось — площадь совпала с t^{2}, и число 5t^{2}=576 делится ровно: 576:5=115{,}2. Сходится.