Задание 22 ОГЭ по математике: Постройте график функции y равно дробь: числитель: 1, 5 модуль x…

Сначала упростим дробь. Обрати внимание: x^{2}=|x|^{2}, поэтому знаменатель раскладывается через |x|:

|x|-1{,}5x^{2}=|x|\bigl(1-1{,}5|x|\bigr)=-|x|\bigl(1{,}5|x|-1\bigr).

В числителе стоит ровно та же скобка 1{,}5|x|-1. Сокращаем её:

y=\dfrac{1{,}5|x|-1}{-|x|\bigl(1{,}5|x|-1\bigr)}=-\dfrac{1}{|x|}.

Правило: сокращать можно только там, где скобка не равна нулю, — эти точки выпадают из графика. Ограничения: x\ne 0 (иначе знаменатель нулевой) и 1{,}5|x|-1\ne 0, то есть |x|\ne\dfrac{2}{3}.

Итак, график — это y=-\dfrac{1}{|x|}: две ветви гиперболы, целиком лежащие НИЖЕ оси x, симметричные относительно оси y, с двумя выколотыми точками. Их координаты: при x=\pm\dfrac{2}{3} значение y=-\dfrac{1}{2/3}=-1{,}5, то есть точки \left(\dfrac{2}{3};\ -1{,}5\right) и \left(-\dfrac{2}{3};\ -1{,}5\right).

Теперь ищем k, при которых прямая y=kx не пересекает график. Прямая проходит через начало координат, а весь график — в нижней полуплоскости.

Случай k=0: прямая y=0 — это ось x, а график всюду ниже неё. Общих точек нет — подходит.

Случай k\lt 0: при x\gt 0 решаем kx=-\dfrac{1}{x}, откуда x^{2}=-\dfrac{1}{k} — решение есть всегда. Пересечения не будет только в одной ситуации: если эта единственная точка встречи — выколотая. Подставим x=\dfrac{2}{3}:

k=-\dfrac{1}{x^{2}}=-\dfrac{1}{4/9}=-\dfrac{9}{4}=-2{,}25.

Случай k\gt 0: прямая идёт через первую и третью четверти и может встретить только левую ветвь (при x\lt 0). Аналогично точка встречи единственная, и она пропадает, лишь когда попадает в выколотую \left(-\dfrac{2}{3};\ -1{,}5\right):

k=\dfrac{-1{,}5}{-2/3}=\dfrac{9}{4}=2{,}25.

Собираем ответ: k=-2{,}25; k=0; k=2{,}25.

Проверка: при k=-2{,}25 уравнение -2{,}25x=-\dfrac{1}{x} даёт x^{2}=\dfrac{4}{9}, то есть x=\dfrac{2}{3} — ровно выколотая точка, пересечения действительно нет. Сходится.