Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00025070

Сначала упростим дробь. Обрати внимание: $x^{2}=|x|^{2}$, поэтому знаменатель раскладывается через $|x|$:

$$|x|-1{,}5x^{2}=|x|\bigl(1-1{,}5|x|\bigr)=-|x|\bigl(1{,}5|x|-1\bigr).$$

В числителе стоит ровно та же скобка $1{,}5|x|-1$. Сокращаем её:

$$y=\dfrac{1{,}5|x|-1}{-|x|\bigl(1{,}5|x|-1\bigr)}=-\dfrac{1}{|x|}.$$

Правило: сокращать можно только там, где скобка не равна нулю, — эти точки выпадают из графика. Ограничения: $x\ne 0$ (иначе знаменатель нулевой) и $1{,}5|x|-1\ne 0$, то есть $|x|\ne\dfrac{2}{3}$.

Итак, график — это $y=-\dfrac{1}{|x|}$: две ветви гиперболы, целиком лежащие НИЖЕ оси $x$, симметричные относительно оси $y$, с двумя выколотыми точками. Их координаты: при $x=\pm\dfrac{2}{3}$ значение $y=-\dfrac{1}{2/3}=-1{,}5$, то есть точки $\left(\dfrac{2}{3};\ -1{,}5\right)$ и $\left(-\dfrac{2}{3};\ -1{,}5\right)$.

Теперь ищем $k$, при которых прямая $y=kx$ не пересекает график. Прямая проходит через начало координат, а весь график — в нижней полуплоскости.

Случай $k=0$: прямая $y=0$ — это ось $x$, а график всюду ниже неё. Общих точек нет — подходит.

Случай $k\lt 0$: при $x\gt 0$ решаем $kx=-\dfrac{1}{x}$, откуда $x^{2}=-\dfrac{1}{k}$ — решение есть всегда. Пересечения не будет только в одной ситуации: если эта единственная точка встречи — выколотая. Подставим $x=\dfrac{2}{3}$:

$$k=-\dfrac{1}{x^{2}}=-\dfrac{1}{4/9}=-\dfrac{9}{4}=-2{,}25.$$

Случай $k\gt 0$: прямая идёт через первую и третью четверти и может встретить только левую ветвь (при $x\lt 0$). Аналогично точка встречи единственная, и она пропадает, лишь когда попадает в выколотую $\left(-\dfrac{2}{3};\ -1{,}5\right)$:

$$k=\dfrac{-1{,}5}{-2/3}=\dfrac{9}{4}=2{,}25.$$

Собираем ответ: $k=-2{,}25$; $k=0$; $k=2{,}25$.

Проверка: при $k=-2{,}25$ уравнение $-2{,}25x=-\dfrac{1}{x}$ даёт $x^{2}=\dfrac{4}{9}$, то есть $x=\dfrac{2}{3}$ — ровно выколотая точка, пересечения действительно нет. Сходится.