ID: 00025069
Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 33 % кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 47 % кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом растворе?
Источник: Сборник Ященко 2026
Обозначим концентрацию кислоты в первом растворе за $x$ %, во втором — за $y$ %.
| Масса раствора, кг | Концентрация | Кислоты, кг |
|---|---|---|---|
Первый сосуд | $40$ | $x$ % | $0{,}4x$ |
Второй сосуд | $20$ | $y$ % | $0{,}2y$ |
Первый случай: слили всё. Получилось $40+20=60$ кг раствора с $33\%$ кислоты, то есть кислоты в нём $0{,}33\cdot 60=19{,}8$ кг. Правило: кислота при переливании никуда не девается — сколько было в двух сосудах, столько и в смеси:
$$0{,}4x+0{,}2y=19{,}8.$$
Умножим обе части на $5$, чтобы избавиться от десятичных: $2x+y=99$.
Второй случай: слили РАВНЫЕ массы, по $m$ кг из каждого сосуда. Кислоты будет $\dfrac{mx}{100}+\dfrac{my}{100}$, а всего раствора $2m$ кг, и это $47\%$:
$$\dfrac{mx}{100}+\dfrac{my}{100}=0{,}47\cdot 2m.$$
Обрати внимание: $m$ сокращается — при равных массах концентрация смеси это просто среднее арифметическое концентраций:
$$\dfrac{x+y}{2}=47,\qquad x+y=94.$$
Решаем систему вычитанием: из $2x+y=99$ вычитаем $x+y=94$:
$$x=99-94=5.$$
В первом растворе $5\%$ кислоты.
Проверка: тогда $y=94-5=89$. Сливаем всё: кислоты $0{,}4\cdot 5+0{,}2\cdot 89=2+17{,}8=19{,}8$ кг из $60$ кг — это $33\%$; равные массы: $\dfrac{5+89}{2}=47\%$. Сходится.