Задание 25 ОГЭ по математике: В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC . Точка O является…

💡 Идея. Прямые AD и BC параллельны, а точка O лежит между ними — поэтому расстояние между этими прямыми складывается из двух известных расстояний.

Точка O — центр вписанной окружности треугольника ABC, значит, она удалена от всех трёх его сторон на радиус: r=5 — это расстояние и до AC, и до BC, и до AB.

Прямая AD параллельна BC, и O находится между ними (внутри треугольника ABC, по другую сторону AC от AD). Складываем расстояния:

h=6+5=11

— это расстояние между прямыми AD и BC, то есть и высота параллелограмма к стороне BC, и высота треугольника ABC из вершины A.

Обозначим BC=a. Тогда площадь треугольника ABC можно записать двумя способами.

Первый — через основание и высоту:

S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot 11.

Второй — через радиус вписанной окружности: S=p\cdot r, где p — полупериметр.

Чтобы найти p, используем AO=13: отрезок от вершины до центра вписанной окружности вместе с радиусом, проведённым в точку касания на стороне AB (или AC), образует прямоугольный треугольник. Касательный отрезок из A:

\sqrt{AO^{2}-r^{2}}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12.

Правило: касательный отрезок из вершины A к вписанной окружности равен p-a. Значит, p=a+12.

Приравниваем два выражения площади:

\dfrac{1}{2}\cdot 11a=5(a+12),\qquad 5{,}5a=5a+60,\qquad 0{,}5a=60,\qquad a=120.

Тогда площадь треугольника: S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot 120\cdot 11=660.

Диагональ AC делит параллелограмм пополам, поэтому:

S_{ABCD}=2\cdot 660=1320.

Проверка: p=120+12=132, S=p\cdot r=132\cdot 5=660 — совпало с \dfrac{1}{2}\cdot 120\cdot 11=660. Сходится.