Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00025053

💡 Идея. Прямые $AD$ и $BC$ параллельны, а точка $O$ лежит между ними — поэтому расстояние между этими прямыми складывается из двух известных расстояний.

Точка $O$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$, значит, она удалена от всех трёх его сторон на радиус: $r=5$ — это расстояние и до $AC$, и до $BC$, и до $AB$.

Прямая $AD$ параллельна $BC$, и $O$ находится между ними (внутри треугольника $ABC$, по другую сторону $AC$ от $AD$). Складываем расстояния:

$$h=6+5=11$$

— это расстояние между прямыми $AD$ и $BC$, то есть и высота параллелограмма к стороне $BC$, и высота треугольника $ABC$ из вершины $A$.

Обозначим $BC=a$. Тогда площадь треугольника $ABC$ можно записать двумя способами.

Первый — через основание и высоту:

$$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot 11.$$

Второй — через радиус вписанной окружности: $S=p\cdot r$, где $p$ — полупериметр.

Чтобы найти $p$, используем $AO=13$: отрезок от вершины до центра вписанной окружности вместе с радиусом, проведённым в точку касания на стороне $AB$ (или $AC$), образует прямоугольный треугольник. Касательный отрезок из $A$:

$$\sqrt{AO^{2}-r^{2}}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12.$$

Правило: касательный отрезок из вершины $A$ к вписанной окружности равен $p-a$. Значит, $p=a+12$.

Приравниваем два выражения площади:

$$\dfrac{1}{2}\cdot 11a=5(a+12),\qquad 5{,}5a=5a+60,\qquad 0{,}5a=60,\qquad a=120.$$

Тогда площадь треугольника: $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot 120\cdot 11=660$.

Диагональ $AC$ делит параллелограмм пополам, поэтому:

$$S_{ABCD}=2\cdot 660=1320.$$

Проверка: $p=120+12=132$, $S=p\cdot r=132\cdot 5=660$ — совпало с $\dfrac{1}{2}\cdot 120\cdot 11=660$. Сходится.