Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00025052

Сначала разложим на множители все три квадратных трёхчлена — без этого дробь не упростить.

$$x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2),\qquad x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3),\qquad x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1).$$

Обрати внимание: знаменатель обращается в ноль при $x=-1$ и $x=3$ — эти значения не входят в область определения.

Сокращаем дробь на $(x+1)(x-3)$:

$$y=(x+2)(x-1)=x^{2}+x-2,\qquad x\ne -1,\ x\ne 3.$$

График — парабола ветвями вверх с двумя выколотыми точками. Вершина: $x_0=-\dfrac{1}{2}$, $y_0=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}-2=-2{,}25$, то есть точка $\left(-0{,}5;\ -2{,}25\right)$.

Считаем выколотые точки: при $x=-1$ было бы $y=1\cdot(-2)=-2$, при $x=3$ было бы $y=5\cdot 2=10$ — точки $(-1;\ -2)$ и $(3;\ 10)$ на графике отсутствуют.

Теперь мысленно двигаем горизонтальную прямую $y=m$ снизу вверх и считаем общие точки.

При $m=-2{,}25$ прямая касается параболы в вершине — ровно одна точка.

При $m=-2$ прямая пересекала бы параболу в двух точках, но одна из них — выколотая $(-1;\ -2)$: остаётся одна.

При $m=10$ так же: из двух точек пересечения одна — выколотая $(3;\ 10)$: остаётся одна.

Проверка остальных уровней: при $m\lt -2{,}25$ общих точек нет, при прочих $m$ их две. Подходят только $m=-2{,}25$; $m=-2$; $m=10$.