Задание 25 ОГЭ по математике: В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 27 и 15 ,…

💡 Идея. продлить боковые стороны до пересечения — сумма углов 90^{\circ} подарит прямой угол, а дальше всё решит подобие и свойство касательной.

Продлим боковые стороны AB и CD до пересечения в точке P. В треугольнике APD углы при A и D — это углы трапеции при основании AD, их сумма 90^{\circ}. Сумма углов треугольника равна 180^{\circ}, поэтому

\angle APD=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}.

Значит, прямые AB и CD пересекаются в точке P под прямым углом.

Основания параллельны: BC\parallel AD, поэтому треугольник PBC подобен треугольнику PAD с коэффициентом

k=\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{15}{27}=\dfrac{5}{9},\qquad \text{то есть } PB=\dfrac{5}{9}PA.

Точка B лежит на отрезке PA, поэтому AB=PA-PB:

PA-\dfrac{5}{9}PA=\dfrac{4}{9}PA=14,\qquad PA=\dfrac{14\cdot 9}{4}=31{,}5,\qquad PB=31{,}5-14=17{,}5.

Теперь введём удобные координаты: пусть P — начало, прямая AB — ось абсцисс, прямая CD — ось ординат (они перпендикулярны). Тогда A\left(31{,}5;\ 0\right) и B\left(17{,}5;\ 0\right).

Центр окружности равноудалён от A и B, значит, лежит на серединном перпендикуляре к AB — вертикальной прямой

x=\dfrac{17{,}5+31{,}5}{2}=24{,}5.

Правило: если окружность касается прямой, расстояние от центра до этой прямой равно радиусу. Прямая CD — ось ординат, а расстояние от центра до неё равно абсциссе центра:

R=24{,}5.

Проверка себя через степень точки: PA\cdot PB=31{,}5\cdot 17{,}5=551{,}25 — это квадрат касательной из P; у центра \left(24{,}5;\ y_0\right) из условия прохождения через A получается y_0^{2}=24{,}5^{2}-7^{2}=551{,}25 — та же величина. Сходится.