ID: 00025036
В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно $27$ и $15$, а сумма углов при основании $AD$ равна $90^{\circ}$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD$, если $AB=14$.
Источник: Сборник Ященко 2026
💡 Идея. продлить боковые стороны до пересечения — сумма углов $90^{\circ}$ подарит прямой угол, а дальше всё решит подобие и свойство касательной.
Продлим боковые стороны $AB$ и $CD$ до пересечения в точке $P$. В треугольнике $APD$ углы при $A$ и $D$ — это углы трапеции при основании $AD$, их сумма $90^{\circ}$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$, поэтому
$$\angle APD=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}.$$
Значит, прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$ под прямым углом.
Основания параллельны: $BC\parallel AD$, поэтому треугольник $PBC$ подобен треугольнику $PAD$ с коэффициентом
$$k=\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{15}{27}=\dfrac{5}{9},\qquad \text{то есть } PB=\dfrac{5}{9}PA.$$
Точка $B$ лежит на отрезке $PA$, поэтому $AB=PA-PB$:
$$PA-\dfrac{5}{9}PA=\dfrac{4}{9}PA=14,\qquad PA=\dfrac{14\cdot 9}{4}=31{,}5,\qquad PB=31{,}5-14=17{,}5.$$
Теперь введём удобные координаты: пусть $P$ — начало, прямая $AB$ — ось абсцисс, прямая $CD$ — ось ординат (они перпендикулярны). Тогда $A\left(31{,}5;\ 0\right)$ и $B\left(17{,}5;\ 0\right)$.
Центр окружности равноудалён от $A$ и $B$, значит, лежит на серединном перпендикуляре к $AB$ — вертикальной прямой
$$x=\dfrac{17{,}5+31{,}5}{2}=24{,}5.$$
Правило: если окружность касается прямой, расстояние от центра до этой прямой равно радиусу. Прямая $CD$ — ось ординат, а расстояние от центра до неё равно абсциссе центра:
$$R=24{,}5.$$
Проверка себя через степень точки: $PA\cdot PB=31{,}5\cdot 17{,}5=551{,}25$ — это квадрат касательной из $P$; у центра $\left(24{,}5;\ y_0\right)$ из условия прохождения через $A$ получается $y_0^{2}=24{,}5^{2}-7^{2}=551{,}25$ — та же величина. Сходится.