Прямая пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках E и F соответственно. Известно, что AB равно 20, BC равно 12, AC равно 25, AE равно 14, CF равно 2. Найдите длину отрезка EF.

Треугольники — Задание 23 ОГЭ по математике №00025035

Задание №23. Усложненные геометрические задачи

Треугольники

№2. Задание 23

ID: 00025035

Прямая пересекает стороны $$AB$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$ в точках $$E$$ и $$F$$ соответственно. Известно, что $$AB=20$$ , $$BC=12$$ , $$AC=25$$ , $$AE=14$$ , $$CF=2$$ . Найдите длину отрезка $$EF$$ .

Источник: Сборник Ященко 2026

Решение

💡 Идея. показать, что треугольник $$BEF$$ подобен треугольнику $$BCA$$ , — тогда $$EF$$ найдётся через коэффициент подобия.

Сначала найдём отрезки при вершине $$B$$ :

$BE=AB-AE=20-14=6,\qquad BF=BC-CF=12-2=10.$

Теперь сравним отношения. Обрати внимание на порядок: сторону $$BE$$ сравниваем с $$BC$$ , а $$BF$$ — с $$BA$$ , то есть «крест-накрест»:

$\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2},\qquad \dfrac{BF}{BA}=\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}.$

Отношения равны, а угол $$B$$ у треугольников $$BEF$$ и $$BCA$$ общий. Правило: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними равны, треугольники подобны.

$\triangle BEF\sim\triangle BCA,\qquad k=\dfrac{1}{2}.$

В этом подобии стороне $$EF$$ соответствует сторона $$CA$$ , поэтому

$EF=k\cdot CA=\dfrac{1}{2}\cdot 25=12{,}5.$

Ответ

12,5

Другие задания по теме «Треугольники» (8)