ID: 00025035
Прямая пересекает стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Известно, что $AB=20$, $BC=12$, $AC=25$, $AE=14$, $CF=2$. Найдите длину отрезка $EF$.
Источник: Сборник Ященко 2026
💡 Идея. показать, что треугольник $BEF$ подобен треугольнику $BCA$, — тогда $EF$ найдётся через коэффициент подобия.
Сначала найдём отрезки при вершине $B$:
$$BE=AB-AE=20-14=6,\qquad BF=BC-CF=12-2=10.$$
Теперь сравним отношения. Обрати внимание на порядок: сторону $BE$ сравниваем с $BC$, а $BF$ — с $BA$, то есть «крест-накрест»:
$$\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2},\qquad \dfrac{BF}{BA}=\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}.$$
Отношения равны, а угол $B$ у треугольников $BEF$ и $BCA$ общий. Правило: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними равны, треугольники подобны.
$$\triangle BEF\sim\triangle BCA,\qquad k=\dfrac{1}{2}.$$
В этом подобии стороне $EF$ соответствует сторона $CA$, поэтому
$$EF=k\cdot CA=\dfrac{1}{2}\cdot 25=12{,}5.$$