Прямая пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках E и F соответственно. Известно, что AB равно 20 , BC равно 12 , AC равно 25 , AE равно 14 , CF равно 2 . Найдите длину отрезка EF .

Задание 23 ОГЭ по математике: Прямая пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках E и…

№2. Задание 23

ID: 00025035

Прямая пересекает стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Известно, что $AB=20$ , $BC=12$ , $AC=25$ , $AE=14$ , $CF=2$ . Найдите длину отрезка $EF$ .

Источник: Сборник Ященко 2026

Решение

💡 Идея. показать, что треугольник $BEF$ подобен треугольнику $BCA$ , — тогда $EF$ найдётся через коэффициент подобия.

Сначала найдём отрезки при вершине $B$ :

$BE=AB-AE=20-14=6,\qquad BF=BC-CF=12-2=10.$

Теперь сравним отношения. Обрати внимание на порядок: сторону $BE$ сравниваем с $BC$ , а $BF$ — с $BA$ , то есть «крест-накрест»:

$\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2},\qquad \dfrac{BF}{BA}=\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}.$

Отношения равны, а угол $B$ у треугольников $BEF$ и $BCA$ общий. Правило: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними равны, треугольники подобны.

$\triangle BEF\sim\triangle BCA,\qquad k=\dfrac{1}{2}.$

В этом подобии стороне $EF$ соответствует сторона $CA$ , поэтому

$EF=k\cdot CA=\dfrac{1}{2}\cdot 25=12{,}5.$

Ответ

12,5