Задание 22 ОГЭ по математике: Постройте график функции y равно дробь: числитель: левая круглая…

Сначала упростим дробь. Разложим квадратный трёхчлен на множители: корни уравнения x^{2}-4x+3=0 — это 1 и 3 (по теореме Виета: сумма 4, произведение 3), поэтому

x^{2}-4x+3=\left(x-1\right)\left(x-3\right).

Подставляем и сокращаем на x-1:

y=\dfrac{\left(x+2\right)\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{x-1}=\left(x+2\right)\left(x-3\right)=x^{2}-x-6.

Обрати внимание: сокращение законно только при x\ne 1 — при x=1 исходная дробь не определена. Значит, график — это парабола y=x^{2}-x-6 с ВЫКОЛОТОЙ точкой при x=1:

y(1)=1-1-6=-6,\qquad \text{выколотая точка } \left(1;\ -6\right).

Строим параболу: ветви вверх, нули в точках x=-2 и x=3, вершина при x_0=\dfrac{1}{2}:

y_0=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}-6=-6{,}25,\qquad \text{вершина } \left(0{,}5;\ -6{,}25\right).

Теперь смотрим, сколько раз горизонтальная прямая y=m задевает такой график. Обычная картина: при m \gt -6{,}25 — две точки, при m=-6{,}25 — одна (касание в вершине), при m \lt -6{,}25 — ни одной.

Но есть особый случай: прямая y=-6 проходит через выколотую точку. Парабола пересекается с ней при x^{2}-x-6=-6, то есть x^{2}-x=0: в точках x=0 и x=1. Точка с x=1 выколота — остаётся ровно одна общая точка \left(0;\ -6\right).

Итого ровно одна общая точка при m=-6{,}25 и при m=-6.