Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00025034

Сначала упростим дробь. Разложим квадратный трёхчлен на множители: корни уравнения $x^{2}-4x+3=0$ — это $1$ и $3$ (по теореме Виета: сумма $4$, произведение $3$), поэтому

$$x^{2}-4x+3=\left(x-1\right)\left(x-3\right).$$

Подставляем и сокращаем на $x-1$:

$$y=\dfrac{\left(x+2\right)\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{x-1}=\left(x+2\right)\left(x-3\right)=x^{2}-x-6.$$

Обрати внимание: сокращение законно только при $x\ne 1$ — при $x=1$ исходная дробь не определена. Значит, график — это парабола $y=x^{2}-x-6$ с ВЫКОЛОТОЙ точкой при $x=1$:

$$y(1)=1-1-6=-6,\qquad \text{выколотая точка } \left(1;\ -6\right).$$

Строим параболу: ветви вверх, нули в точках $x=-2$ и $x=3$, вершина при $x_0=\dfrac{1}{2}$:

$$y_0=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}-6=-6{,}25,\qquad \text{вершина } \left(0{,}5;\ -6{,}25\right).$$

Теперь смотрим, сколько раз горизонтальная прямая $y=m$ задевает такой график. Обычная картина: при $m \gt -6{,}25$ — две точки, при $m=-6{,}25$ — одна (касание в вершине), при $m \lt -6{,}25$ — ни одной.

Но есть особый случай: прямая $y=-6$ проходит через выколотую точку. Парабола пересекается с ней при $x^{2}-x-6=-6$, то есть $x^{2}-x=0$: в точках $x=0$ и $x=1$. Точка с $x=1$ выколота — остаётся ровно одна общая точка $\left(0;\ -6\right)$.

Итого ровно одна общая точка при $m=-6{,}25$ и при $m=-6$.