Задание 25 ОГЭ по математике: В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC . Точка O является…

💡 Идея. Прямые AD и BC параллельны, а точка O лежит между ними — поэтому расстояние между этими прямыми складывается из двух известных расстояний.

Точка O — центр вписанной окружности треугольника ABC, значит, она удалена от всех трёх его сторон на радиус: r=8 — это расстояние и до AC, и до BC, и до AB.

Прямая AD параллельна BC, и O находится между ними (внутри треугольника ABC, по другую сторону AC от AD). Складываем расстояния:

h=12+8=20

— это расстояние между параллельными прямыми AD и BC. Точка A лежит на прямой AD, поэтому высота треугольника ABC, опущенная из A на BC, тоже равна 20.

Выразим площадь треугольника ABC через BC:

S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot 20=10\cdot BC.

Теперь используем OA=17. Опустим из O перпендикуляр OP на AC: OP=r=8. В прямоугольном треугольнике OAP по теореме Пифагора:

AP=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15.

Точка P — точка касания вписанной окружности со стороной AC, поэтому AP — отрезок касательной из вершины A. Правило: отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны, поэтому обе касательные из A равны 15, из B — какому-то числу y, из C — числу z.

Тогда BC=y+z, а полупериметр треугольника собирается из трёх касательных отрезков: p=15+y+z=15+BC.

Правило: площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр:

S_{ABC}=r\cdot p=8\,(15+BC)=120+8\cdot BC.

Два выражения для одной площади приравниваем:

10\cdot BC=120+8\cdot BC,\qquad 2\cdot BC=120,\qquad BC=60.

Отсюда S_{ABC}=10\cdot 60=600.

Диагональ AC делит параллелограмм на два равных треугольника, поэтому

S_{ABCD}=2\cdot 600=1200.

Проверка: p=15+60=75, S=r\cdot p=8\cdot 75=600 — совпало со счётом через высоту. Сходится.