Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00025003

💡 Идея. Прямые $AD$ и $BC$ параллельны, а точка $O$ лежит между ними — поэтому расстояние между этими прямыми складывается из двух известных расстояний.

Точка $O$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$, значит, она удалена от всех трёх его сторон на радиус: $r=8$ — это расстояние и до $AC$, и до $BC$, и до $AB$.

Прямая $AD$ параллельна $BC$, и $O$ находится между ними (внутри треугольника $ABC$, по другую сторону $AC$ от $AD$). Складываем расстояния:

$$h=12+8=20$$

— это расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC$. Точка $A$ лежит на прямой $AD$, поэтому высота треугольника $ABC$, опущенная из $A$ на $BC$, тоже равна $20$.

Выразим площадь треугольника $ABC$ через $BC$:

$$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot 20=10\cdot BC.$$

Теперь используем $OA=17$. Опустим из $O$ перпендикуляр $OP$ на $AC$: $OP=r=8$. В прямоугольном треугольнике $OAP$ по теореме Пифагора:

$$AP=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15.$$

Точка $P$ — точка касания вписанной окружности со стороной $AC$, поэтому $AP$ — отрезок касательной из вершины $A$. Правило: отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны, поэтому обе касательные из $A$ равны $15$, из $B$ — какому-то числу $y$, из $C$ — числу $z$.

Тогда $BC=y+z$, а полупериметр треугольника собирается из трёх касательных отрезков: $p=15+y+z=15+BC$.

Правило: площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр:

$$S_{ABC}=r\cdot p=8\,(15+BC)=120+8\cdot BC.$$

Два выражения для одной площади приравниваем:

$$10\cdot BC=120+8\cdot BC,\qquad 2\cdot BC=120,\qquad BC=60.$$

Отсюда $S_{ABC}=10\cdot 60=600$.

Диагональ $AC$ делит параллелограмм на два равных треугольника, поэтому

$$S_{ABCD}=2\cdot 600=1200.$$

Проверка: $p=15+60=75$, $S=r\cdot p=8\cdot 75=600$ — совпало со счётом через высоту. Сходится.