ID: 00025001
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке K. Найдите AB, если AK=18, BK=24.
Источник: Сборник Ященко 2026
💡 Идея. Углы при боковой стороне трапеции в сумме дают 180^\circ, поэтому их половины дают 90^\circ — и треугольник ABK прямоугольный.
Основания трапеции параллельны, а боковая сторона AB — секущая. Правило: односторонние углы при параллельных прямых в сумме составляют 180^\circ:
\angle A+\angle B=180^\circ.
Биссектрисы делят каждый из этих углов пополам, поэтому в треугольнике ABK углы при стороне AB равны \dfrac{\angle A}{2} и \dfrac{\angle B}{2}, а их сумма — 90^\circ.
Сумма углов треугольника равна 180^\circ, значит, на угол K остаётся:
\angle AKB=180^\circ-90^\circ=90^\circ.
Треугольник ABK прямоугольный с катетами AK=18 и BK=24, а AB — его гипотенуза. По теореме Пифагора:
AB=\sqrt{18^{2}+24^{2}}=\sqrt{324+576}=\sqrt{900}=30.
Проверка прикидкой: это «раздутая» пифагорова тройка 3–4–5, умноженная на 6: 18–24–30. Сходится.