ID: 00025001
Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Найдите $AB$, если $AK=18$, $BK=24$.
Источник: Сборник Ященко 2026
💡 Идея. Углы при боковой стороне трапеции в сумме дают $180^\circ$, поэтому их половины дают $90^\circ$ — и треугольник $ABK$ прямоугольный.
Основания трапеции параллельны, а боковая сторона $AB$ — секущая. Правило: односторонние углы при параллельных прямых в сумме составляют $180^\circ$:
$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$
Биссектрисы делят каждый из этих углов пополам, поэтому в треугольнике $ABK$ углы при стороне $AB$ равны $\dfrac{\angle A}{2}$ и $\dfrac{\angle B}{2}$, а их сумма — $90^\circ$.
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, значит, на угол $K$ остаётся:
$$\angle AKB=180^\circ-90^\circ=90^\circ.$$
Треугольник $ABK$ прямоугольный с катетами $AK=18$ и $BK=24$, а $AB$ — его гипотенуза. По теореме Пифагора:
$$AB=\sqrt{18^{2}+24^{2}}=\sqrt{324+576}=\sqrt{900}=30.$$
Проверка прикидкой: это «раздутая» пифагорова тройка $3$–$4$–$5$, умноженная на $6$: $18$–$24$–$30$. Сходится.