Четырёхуголь… — Задание 23 ОГЭ по математике №00025001

💡 Идея. Углы при боковой стороне трапеции в сумме дают $180^\circ$, поэтому их половины дают $90^\circ$ — и треугольник $ABK$ прямоугольный.

Основания трапеции параллельны, а боковая сторона $AB$ — секущая. Правило: односторонние углы при параллельных прямых в сумме составляют $180^\circ$:

$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$

Биссектрисы делят каждый из этих углов пополам, поэтому в треугольнике $ABK$ углы при стороне $AB$ равны $\dfrac{\angle A}{2}$ и $\dfrac{\angle B}{2}$, а их сумма — $90^\circ$.

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, значит, на угол $K$ остаётся:

$$\angle AKB=180^\circ-90^\circ=90^\circ.$$

Треугольник $ABK$ прямоугольный с катетами $AK=18$ и $BK=24$, а $AB$ — его гипотенуза. По теореме Пифагора:

$$AB=\sqrt{18^{2}+24^{2}}=\sqrt{324+576}=\sqrt{900}=30.$$

Проверка прикидкой: это «раздутая» пифагорова тройка $3$–$4$–$5$, умноженная на $6$: $18$–$24$–$30$. Сходится.