ID: 00025000
Постройте график функции y=\dfrac{\left(x^{2}-2x-3\right)\left(x^{2}-3x+2\right)}{x^{2}-4x+3} и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.
Источник: Сборник Ященко 2026
Сначала разложим на множители все три квадратных трёхчлена — без этого дробь не упростить.
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1),\qquad x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2),\qquad x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).
Обрати внимание: знаменатель обращается в ноль при x=1 и x=3 — эти значения не входят в область определения.
Сокращаем дробь на (x-1)(x-3):
y=(x+1)(x-2)=x^{2}-x-2,\qquad x\ne 1,\ x\ne 3.
График — парабола ветвями вверх с двумя выколотыми точками. Вершина: x_0=\dfrac{1}{2}, y_0=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}-2=-2{,}25, то есть точка \left(0{,}5;\ -2{,}25\right).
Считаем выколотые точки: при x=1 было бы y=2\cdot(-1)=-2, при x=3 было бы y=4\cdot 1=4 — точки (1;\ -2) и (3;\ 4) на графике отсутствуют.
Теперь мысленно двигаем горизонтальную прямую y=m снизу вверх и считаем общие точки.
При m=-2{,}25 прямая касается параболы в вершине — ровно одна точка.
При m=-2 прямая пересекала бы параболу в двух точках, но одна из них — выколотая (1;\ -2): остаётся одна.
При m=4 так же: из двух точек пересечения одна — выколотая (3;\ 4): остаётся одна.
Проверка остальных уровней: при m\lt -2{,}25 общих точек нет, при прочих m их две. Подходят только m=-2{,}25; m=-2; m=4.