ID: 00025000
Постройте график функции $y=\dfrac{\left(x^{2}-2x-3\right)\left(x^{2}-3x+2\right)}{x^{2}-4x+3}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Источник: Сборник Ященко 2026
Сначала разложим на множители все три квадратных трёхчлена — без этого дробь не упростить.
$$x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1),\qquad x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2),\qquad x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).$$
Обрати внимание: знаменатель обращается в ноль при $x=1$ и $x=3$ — эти значения не входят в область определения.
Сокращаем дробь на $(x-1)(x-3)$:
$$y=(x+1)(x-2)=x^{2}-x-2,\qquad x\ne 1,\ x\ne 3.$$
График — парабола ветвями вверх с двумя выколотыми точками. Вершина: $x_0=\dfrac{1}{2}$, $y_0=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}-2=-2{,}25$, то есть точка $\left(0{,}5;\ -2{,}25\right)$.
Считаем выколотые точки: при $x=1$ было бы $y=2\cdot(-1)=-2$, при $x=3$ было бы $y=4\cdot 1=4$ — точки $(1;\ -2)$ и $(3;\ 4)$ на графике отсутствуют.
Теперь мысленно двигаем горизонтальную прямую $y=m$ снизу вверх и считаем общие точки.
При $m=-2{,}25$ прямая касается параболы в вершине — ровно одна точка.
При $m=-2$ прямая пересекала бы параболу в двух точках, но одна из них — выколотая $(1;\ -2)$: остаётся одна.
При $m=4$ так же: из двух точек пересечения одна — выколотая $(3;\ 4)$: остаётся одна.
Проверка остальных уровней: при $m\lt -2{,}25$ общих точек нет, при прочих $m$ их две. Подходят только $m=-2{,}25$; $m=-2$; $m=4$.