ID: 00024999
Два велосипедиста одновременно отправляются в 84-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 9 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.
Источник: Сборник Ященко 2026
К финишу вторым приходит тот, кто медленнее, — второй велосипедист. Обозначим его скорость за $v$ км/ч, тогда первый едет со скоростью $v+9$ км/ч.
| Скорость, км/ч | Время, ч | Путь, км |
|---|---|---|---|
Второй | $v$ | $\dfrac{84}{v}$ | $84$ |
Первый | $v+9$ | $\dfrac{84}{v+9}$ | $84$ |
Время — это путь, делённый на скорость: у второго $\dfrac{84}{v}$ ч, у первого $\dfrac{84}{v+9}$ ч.
Первый приезжает на $3$ часа раньше, значит, время второго больше на $3$:
$$\dfrac{84}{v}-\dfrac{84}{v+9}=3.$$
Приводим левую часть к общему знаменателю — в числителе всё сокращается до одного числа:
$$\dfrac{84(v+9)-84v}{v(v+9)}=3,\qquad \dfrac{756}{v(v+9)}=3,\qquad v(v+9)=252.$$
Раскрываем скобки и решаем квадратное уравнение:
$$v^{2}+9v-252=0,\qquad D=81+1008=1089,\qquad \sqrt{D}=33.$$
Корни $v=\dfrac{-9\pm 33}{2}$: это $12$ и $-21$. Скорость не бывает отрицательной, поэтому $v=12$.
Скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна $12$ км/ч.
Проверка: второй едет $84:12=7$ ч, первый $84:21=4$ ч — разница ровно $3$ часа. Сходится.