Уравнения — Задание 20 ОГЭ по математике №00024998

Присмотрись к скобке $x^{2}+8x+16$: это полный квадрат, ведь $16=4^2$ и $8x=2\cdot 4\cdot x$.

$$x^{2}+8x+16=(x+4)^{2}.$$

Уравнение принимает вид $(x-2)(x+4)^{2}=7(x+4)$.

Обрати внимание: делить обе части на $(x+4)$ нельзя — так потеряется корень. Вместо этого переносим всё влево и выносим общий множитель $(x+4)$ за скобку:

$$(x+4)\big((x-2)(x+4)-7\big)=0.$$

Произведение равно нулю, когда нулю равен любой из множителей. Первый множитель даёт $x=-4$.

Раскрываем второй множитель: $(x-2)(x+4)-7=x^{2}+2x-8-7=x^{2}+2x-15$.

Решаем квадратное уравнение $x^{2}+2x-15=0$:

$$D=4+60=64,\qquad \sqrt{D}=8,\qquad x=\dfrac{-2\pm 8}{2}.$$

Корни: $x=3$ и $x=-5$.

Всего у уравнения три корня: $-5$; $-4$; $3$.

Проверка для $x=-4$: слева $(-6)\cdot 0=0$, справа $7\cdot 0=0$. Для $x=3$: слева $1\cdot 49=49$, справа $7\cdot 7=49$. Сходится.