ID: 00024981
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 18 и 22 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если \cos\angle BAC=\dfrac{\sqrt{11}}{6}.
Источник: Сборник Ященко 2026
💡 Идея. Касание луча и две точки на секущей — это степень точки: квадрат касательной равен произведению отрезков секущей. А дальше удобно всё положить на координаты.
Сначала синус угла A. Правило: \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1, угол треугольника имеет положительный синус:
\sin\angle BAC=\sqrt{1-\dfrac{11}{36}}=\sqrt{\dfrac{25}{36}}=\dfrac{5}{6}.
Пусть T — точка касания окружности с лучом AB. Правило (касательная и секущая из одной точки): AT^{2}=AM\cdot AN.
AT^{2}=18\cdot 22=396,\qquad AT=\sqrt{396}=6\sqrt{11}.
Введём координаты: A — начало, луч AC — положительная ось x. Тогда M(18;\ 0), N(22;\ 0), а луч AB идёт под углом \alpha к оси: его направление \left(\cos\alpha;\ \sin\alpha\right)=\left(\dfrac{\sqrt{11}}{6};\ \dfrac{5}{6}\right).
Точка касания: T=AT\cdot\left(\dfrac{\sqrt{11}}{6};\ \dfrac{5}{6}\right)=6\sqrt{11}\cdot\left(\dfrac{\sqrt{11}}{6};\ \dfrac{5}{6}\right)=\left(11;\ 5\sqrt{11}\right).
Центр O окружности обладает двумя свойствами. Первое: он равноудалён от M и N, значит, лежит на серединном перпендикуляре к MN — вертикали x=\dfrac{18+22}{2}=20. Второе: радиус в точку касания перпендикулярен касательной, то есть O лежит на перпендикуляре к AB в точке T, на расстоянии R: O=T+R\cdot\left(\sin\alpha;\ -\cos\alpha\right) (нормаль смотрит в сторону оси x).
Приравниваем первую координату к 20:
11+\dfrac{5R}{6}=20,\qquad \dfrac{5R}{6}=9,\qquad R=\dfrac{54}{5}=10{,}8.
Проверка через точку M: вторая координата центра y_O=5\sqrt{11}-\dfrac{10{,}8\sqrt{11}}{6}=3{,}2\sqrt{11}, тогда OM^{2}=(20-18)^{2}+\left(3{,}2\sqrt{11}\right)^{2}=4+112{,}64=116{,}64=10{,}8^{2} — расстояние до M действительно равно радиусу. Сходится.
Радиус окружности равен 10{,}8.