Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00024981

💡 Идея. Касание луча и две точки на секущей — это степень точки: квадрат касательной равен произведению отрезков секущей. А дальше удобно всё положить на координаты.

Сначала синус угла $A$. Правило: $\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$, угол треугольника имеет положительный синус:

$$\sin\angle BAC=\sqrt{1-\dfrac{11}{36}}=\sqrt{\dfrac{25}{36}}=\dfrac{5}{6}.$$

Пусть $T$ — точка касания окружности с лучом $AB$. Правило (касательная и секущая из одной точки): $AT^{2}=AM\cdot AN$.

$$AT^{2}=18\cdot 22=396,\qquad AT=\sqrt{396}=6\sqrt{11}.$$

Введём координаты: $A$ — начало, луч $AC$ — положительная ось $x$. Тогда $M(18;\ 0)$, $N(22;\ 0)$, а луч $AB$ идёт под углом $\alpha$ к оси: его направление $\left(\cos\alpha;\ \sin\alpha\right)=\left(\dfrac{\sqrt{11}}{6};\ \dfrac{5}{6}\right)$.

Точка касания: $$T=AT\cdot\left(\dfrac{\sqrt{11}}{6};\ \dfrac{5}{6}\right)=6\sqrt{11}\cdot\left(\dfrac{\sqrt{11}}{6};\ \dfrac{5}{6}\right)=\left(11;\ 5\sqrt{11}\right).$$

Центр $O$ окружности обладает двумя свойствами. Первое: он равноудалён от $M$ и $N$, значит, лежит на серединном перпендикуляре к $MN$ — вертикали $x=\dfrac{18+22}{2}=20$. Второе: радиус в точку касания перпендикулярен касательной, то есть $O$ лежит на перпендикуляре к $AB$ в точке $T$, на расстоянии $R$: $O=T+R\cdot\left(\sin\alpha;\ -\cos\alpha\right)$ (нормаль смотрит в сторону оси $x$).

Приравниваем первую координату к $20$:

$$11+\dfrac{5R}{6}=20,\qquad \dfrac{5R}{6}=9,\qquad R=\dfrac{54}{5}=10{,}8.$$

Проверка через точку $M$: вторая координата центра $y_O=5\sqrt{11}-\dfrac{10{,}8\sqrt{11}}{6}=3{,}2\sqrt{11}$, тогда $OM^{2}=(20-18)^{2}+\left(3{,}2\sqrt{11}\right)^{2}=4+112{,}64=116{,}64=10{,}8^{2}$ — расстояние до $M$ действительно равно радиусу. Сходится.

Радиус окружности равен $10{,}8$.