ID: 00024977
Решите систему уравнений \begin{cases}(x-6)(y-5)=0,\\ \dfrac{y-2}{x+y-8}=3.\end{cases}
Источник: Сборник Ященко 2026
Сначала главное наблюдение: произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. Значит, первое уравнение распадается на два случая: x=6 или y=5. Разберём каждый.
Случай x=6. Подставляем во второе уравнение: знаменатель x+y-8=y-2, и уравнение принимает вид
\dfrac{y-2}{y-2}=3.
Если y\ne 2, слева стоит единица, а 1=3 — ложь; если же y=2, знаменатель обращается в нуль, на нуль делить нельзя. В этом случае решений нет.
Случай y=5. Подставляем: \dfrac{5-2}{x+5-8}=3,\qquad \dfrac{3}{x-3}=3.
Дробь равна 3, когда знаменатель равен 1: x-3=1, то есть x=4.
Обязательная проверка знаменателя: x+y-8=4+5-8=1\ne 0 — деление законно.
Проверка всей системы: (4-6)(5-5)=(-2)\cdot 0=0 — верно; \dfrac{5-2}{1}=3 — верно. Единственное решение — пара (4;\ 5).