Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00024956

💡 Идея. сумма углов $90^{\circ}$ — сигнал продлить боковые стороны: они встретятся под прямым углом, и заработают теорема о касательной и секущей и формула для хорды.

Продлим боковые стороны $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $P$. В треугольнике $APD$ два угла при основании $AD$ в сумме дают $90^{\circ}$, значит, третий угол $\angle APD=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$: прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны.

Найдём отрезки до точки $P$. Основания параллельны: $BC\parallel AD$, поэтому $\triangle PBC\sim\triangle PAD$ с коэффициентом $\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{11}{26}$. Значит, $PB=\dfrac{11}{26}PA$, а разность $PA-PB$ — это боковая сторона $AB=12$:

$$PA-\dfrac{11}{26}PA=12,\qquad \dfrac{15}{26}PA=12,\qquad PA=\dfrac{12\cdot26}{15}=20{,}8,\qquad PB=20{,}8-12=8{,}8.$$

Пусть $T$ — точка, в которой окружность касается прямой $CD$. Точка $P$ лежит на прямой $CD$, а прямая $PA$ — секущая, проходящая через точки $A$ и $B$ окружности. Правило (теорема о касательной и секущей): квадрат касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть:

$$PT^{2}=PB\cdot PA=8{,}8\cdot20{,}8=183{,}04.$$

Теперь соберём радиус. Центр окружности $O$ лежит на перпендикуляре к касательной $CD$ в точке $T$ — а этот перпендикуляр параллелен прямой $AB$ (мы доказали $AB\perp CD$). Значит, расстояние от центра $O$ до хорды $AB$ равно расстоянию между этими параллельными прямыми, то есть $PT$.

Правило для хорды: квадрат радиуса равен квадрату половины хорды плюс квадрат расстояния от центра до хорды:

$$R^{2}=\left(\dfrac{AB}{2}\right)^{2}+PT^{2}=6^{2}+183{,}04=36+183{,}04=219{,}04.$$

$$R=\sqrt{219{,}04}=14{,}8.$$

Радиус окружности равен $14{,}8$.

Проверка: $14{,}8^{2}=219{,}04$ и $8{,}8\cdot20{,}8=183{,}04$, а $219{,}04-183{,}04=36=6^{2}$ — половина хорды $AB$. Сходится.