ID: 00024956
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 26 и 11, а сумма углов при основании AD равна 90^{\circ}. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=12.
Источник: Сборник Ященко 2026
💡 Идея. сумма углов 90^{\circ} — сигнал продлить боковые стороны: они встретятся под прямым углом, и заработают теорема о касательной и секущей и формула для хорды.
Продлим боковые стороны AB и DC до пересечения в точке P. В треугольнике APD два угла при основании AD в сумме дают 90^{\circ}, значит, третий угол \angle APD=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}: прямые AB и CD перпендикулярны.
Найдём отрезки до точки P. Основания параллельны: BC\parallel AD, поэтому \triangle PBC\sim\triangle PAD с коэффициентом \dfrac{BC}{AD}=\dfrac{11}{26}. Значит, PB=\dfrac{11}{26}PA, а разность PA-PB — это боковая сторона AB=12:
PA-\dfrac{11}{26}PA=12,\qquad \dfrac{15}{26}PA=12,\qquad PA=\dfrac{12\cdot26}{15}=20{,}8,\qquad PB=20{,}8-12=8{,}8.
Пусть T — точка, в которой окружность касается прямой CD. Точка P лежит на прямой CD, а прямая PA — секущая, проходящая через точки A и B окружности. Правило (теорема о касательной и секущей): квадрат касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть:
PT^{2}=PB\cdot PA=8{,}8\cdot20{,}8=183{,}04.
Теперь соберём радиус. Центр окружности O лежит на перпендикуляре к касательной CD в точке T — а этот перпендикуляр параллелен прямой AB (мы доказали AB\perp CD). Значит, расстояние от центра O до хорды AB равно расстоянию между этими параллельными прямыми, то есть PT.
Правило для хорды: квадрат радиуса равен квадрату половины хорды плюс квадрат расстояния от центра до хорды:
R^{2}=\left(\dfrac{AB}{2}\right)^{2}+PT^{2}=6^{2}+183{,}04=36+183{,}04=219{,}04.
R=\sqrt{219{,}04}=14{,}8.
Радиус окружности равен 14{,}8.
Проверка: 14{,}8^{2}=219{,}04 и 8{,}8\cdot20{,}8=183{,}04, а 219{,}04-183{,}04=36=6^{2} — половина хорды AB. Сходится.