ID: 00024955
Прямая пересекает стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Известно, что $AB=10$, $BC=14$, $AC=15$, $AE=3$, $CF=9$. Найдите длину отрезка $EF$.
Источник: Сборник Ященко 2026
Сначала найдём отрезки, примыкающие к вершине $B$, — именно вокруг неё будет разворачиваться решение.
$$BE=AB-AE=10-3=7,\qquad BF=BC-CF=14-9=5.$$
Теперь посмотрим на отношения. Обрати внимание на перекрёстный порядок — сравниваем $BE$ с $BC$, а $BF$ с $BA$:
$$\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{7}{14}=\dfrac{1}{2},\qquad \dfrac{BF}{BA}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}.$$
Отношения равны. Правило (второй признак подобия): если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними равны, треугольники подобны. Угол $B$ у треугольников $BEF$ и $BCA$ общий, поэтому
$$\triangle BEF\sim\triangle BCA \text{ с коэффициентом } k=\dfrac{1}{2}.$$
В подобных треугольниках все соответственные стороны пропорциональны. Стороне $EF$ соответствует сторона $CA$:
$$EF=k\cdot CA=\dfrac{1}{2}\cdot15=7{,}5.$$
Длина отрезка $EF$ равна $7{,}5$.
Проверка соответствия: против общего угла $B$ в первом треугольнике лежит $EF$, во втором — $CA$; пары сторон согласованы. Сходится.