Прямая пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках E и F соответственно. Известно, что AB равно 10 , BC равно 14 , AC равно 15 , AE равно 3 , CF равно 9 . Найдите длину отрезка EF .

Задание 23 ОГЭ по математике: Прямая пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках E и…

№2. Задание 23

ID: 00024955

Прямая пересекает стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Известно, что $AB=10$ , $BC=14$ , $AC=15$ , $AE=3$ , $CF=9$ . Найдите длину отрезка $EF$ .

Источник: Сборник Ященко 2026

Решение

Сначала найдём отрезки, примыкающие к вершине $B$ , — именно вокруг неё будет разворачиваться решение.

$BE=AB-AE=10-3=7,\qquad BF=BC-CF=14-9=5.$

Теперь посмотрим на отношения. Обрати внимание на перекрёстный порядок — сравниваем $BE$ с $BC$ , а $BF$ с $BA$ :

$\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{7}{14}=\dfrac{1}{2},\qquad \dfrac{BF}{BA}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}.$

Отношения равны. Правило (второй признак подобия): если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними равны, треугольники подобны. Угол $B$ у треугольников $BEF$ и $BCA$ общий, поэтому

$\triangle BEF\sim\triangle BCA \text{ с коэффициентом } k=\dfrac{1}{2}.$

В подобных треугольниках все соответственные стороны пропорциональны. Стороне $EF$ соответствует сторона $CA$ :

$EF=k\cdot CA=\dfrac{1}{2}\cdot15=7{,}5.$

Длина отрезка $EF$ равна $7{,}5$ .

Проверка соответствия: против общего угла $B$ в первом треугольнике лежит $EF$ , во втором — $CA$ ; пары сторон согласованы. Сходится.

Ответ

7,5