Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00024954

Дробь с многочленами — первым делом пробуем сократить. Разложим числитель на множители.

Квадратный трёхчлен $x^{2}+6x+8$ имеет корни $-2$ и $-4$ (их легко подобрать: сумма $-6$, произведение $8$), поэтому

$$x^{2}+6x+8=(x+2)(x+4).$$

Сокращаем дробь на $x+2$:

$$y=\dfrac{(x-3)(x+2)(x+4)}{x+2}=(x-3)(x+4)=x^{2}+x-12.$$

Обрати внимание: сокращать можно только при $x\ne-2$ — в этой точке исходная дробь не определена. Значит, график — парабола $y=x^{2}+x-12$ с ВЫКОЛОТОЙ точкой при $x=-2$.

Найдём приметы параболы. Корни: $x=3$ и $x=-4$. Вершина посередине между корнями: $x_{в}=-\dfrac{1}{2}$,

$$y_{в}=\left(-\dfrac{1}{2}-3\right)\left(-\dfrac{1}{2}+4\right)=(-3{,}5)\cdot3{,}5=-12{,}25.$$

Выколотая точка: $y(-2)=(-2-3)(-2+4)=(-5)\cdot2=-10$. Строим параболу ветвями вверх с вершиной $\left(-0{,}5;\ -12{,}25\right)$ и выкалываем точку $(-2;\ -10)$.

Теперь мысленно двигаем горизонтальную прямую $y=m$ снизу вверх и считаем общие точки.

При $m=-12{,}25$ прямая проходит через вершину — ровно одна точка.

При $-12{,}25\lt m\lt-10$ и при $m\gt-10$ — две точки.

При $m=-10$ прямая пересекла бы параболу в двух точках, но одна из них — выколотая $(-2;\ -10)$: остаётся ровно одна.

Итого прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку при $m=-10$ и $m=-12{,}25$.

Проверка вершины: $x_{в}=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2}$, $y_{в}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}-12=-12{,}25$. Сходится.