ID: 00024954
Постройте график функции y=\dfrac{(x-3)\left(x^{2}+6x+8\right)}{x+2} и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.
Источник: Сборник Ященко 2026
Дробь с многочленами — первым делом пробуем сократить. Разложим числитель на множители.
Квадратный трёхчлен x^{2}+6x+8 имеет корни -2 и -4 (их легко подобрать: сумма -6, произведение 8), поэтому
x^{2}+6x+8=(x+2)(x+4).
Сокращаем дробь на x+2:
y=\dfrac{(x-3)(x+2)(x+4)}{x+2}=(x-3)(x+4)=x^{2}+x-12.
Обрати внимание: сокращать можно только при x\ne-2 — в этой точке исходная дробь не определена. Значит, график — парабола y=x^{2}+x-12 с ВЫКОЛОТОЙ точкой при x=-2.
Найдём приметы параболы. Корни: x=3 и x=-4. Вершина посередине между корнями: x_{в}=-\dfrac{1}{2},
y_{в}=\left(-\dfrac{1}{2}-3\right)\left(-\dfrac{1}{2}+4\right)=(-3{,}5)\cdot3{,}5=-12{,}25.
Выколотая точка: y(-2)=(-2-3)(-2+4)=(-5)\cdot2=-10. Строим параболу ветвями вверх с вершиной \left(-0{,}5;\ -12{,}25\right) и выкалываем точку (-2;\ -10).
Теперь мысленно двигаем горизонтальную прямую y=m снизу вверх и считаем общие точки.
При m=-12{,}25 прямая проходит через вершину — ровно одна точка.
При -12{,}25\lt m\lt-10 и при m\gt-10 — две точки.
При m=-10 прямая пересекла бы параболу в двух точках, но одна из них — выколотая (-2;\ -10): остаётся ровно одна.
Итого прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку при m=-10 и m=-12{,}25.
Проверка вершины: x_{в}=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2}, y_{в}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}-12=-12{,}25. Сходится.