Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00024952

Обрати внимание: раскрывать квадраты «в лоб» не нужно — перенесём всё влево и свернём разность квадратов.

$$(9x-4)^{2}-(4x-9)^{2}\ge 0.$$

Правило: разность квадратов равна произведению суммы на разность:

$$\bigl((9x-4)+(4x-9)\bigr)\cdot\bigl((9x-4)-(4x-9)\bigr)\ge 0.$$

Упрощаем каждую скобку:

$$(13x-13)(5x+5)\ge 0.$$

Выносим числа: $13(x-1)\cdot5(x+1)\ge 0$, а на положительное число $65$ неравенство можно смело разделить:

$$(x-1)(x+1)\ge 0.$$

Корни $x=1$ и $x=-1$; это парабола ветвями вверх. Правило: такая парабола неотрицательна ВНЕ корней (и в самих корнях).

Неравенство нестрогое, поэтому точки $-1$ и $1$ входят в ответ:

$$x\in(-\infty;\ -1]\cup[1;\ +\infty).$$

Проверка: при $x=2$: $(18-4)^{2}=196$ и $(8-9)^{2}=1$, действительно $196\ge 1$; при $x=0$: $16\ge 81$ — неверно, ноль в ответ не входит. Сходится.