ID: 00024932
В прямоугольном треугольнике катет AB и гипотенуза AC равны 5 и 5\sqrt{17} соответственно. К прямой, содержащей биссектрису BL угла ABC, проведён перпендикуляр CH. Найдите площадь треугольника CLH.
Источник: Сборник Ященко 2026
💡 Идея. Треугольник CLH прямоугольный в точке H: найдём его катеты CH и LH по отдельности.
Сначала второй катет исходного треугольника. Угол B прямой (AC — гипотенуза), по теореме Пифагора:
BC = \sqrt{AC^{2} - AB^{2}} = \sqrt{425 - 25} = \sqrt{400} = 20.
Теперь катет CH. Биссектриса BL делит прямой угол B пополам, значит, \angle HBC = 45^\circ. В треугольнике BHC угол H прямой (CH \perp BL), поэтому третий угол тоже 45^\circ — треугольник равнобедренный прямоугольный.
CH = BC \cdot \cos 45^\circ = 20 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}.
Дальше найдём LC. Правило: биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон: \dfrac{AL}{LC} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4}.
Значит, LC — четыре пятых гипотенузы: LC = \dfrac{4}{5} \cdot 5\sqrt{17} = 4\sqrt{17}.
Точки L и H обе лежат на прямой BL, поэтому треугольник CLH прямоугольный в H, и катет LH находим по теореме Пифагора из треугольника LHC:
LH = \sqrt{LC^{2} - CH^{2}} = \sqrt{272 - 200} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}.
Считаем площадь как полупроизведение катетов:
S_{CLH} = \dfrac{1}{2} \cdot LH \cdot CH = \dfrac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 10\sqrt{2} = \dfrac{1}{2} \cdot 120 = 60.
Проверка себя координатами: B(0;\ 0), A(0;\ 5), C(20;\ 0); биссектриса — прямая y = x; L(4;\ 4), H(10;\ 10); площадь по формуле через координаты тоже даёт 60. Сходится.
Площадь треугольника CLH равна 60.