ID: 00024932
В прямоугольном треугольнике катет $AB$ и гипотенуза $AC$ равны $5$ и $5\sqrt{17}$ соответственно. К прямой, содержащей биссектрису $BL$ угла $ABC$, проведён перпендикуляр $CH$. Найдите площадь треугольника $CLH$.
Источник: Сборник Ященко 2026
💡 Идея. Треугольник $CLH$ прямоугольный в точке $H$: найдём его катеты $CH$ и $LH$ по отдельности.
Сначала второй катет исходного треугольника. Угол $B$ прямой ($AC$ — гипотенуза), по теореме Пифагора:
$$BC = \sqrt{AC^{2} - AB^{2}} = \sqrt{425 - 25} = \sqrt{400} = 20.$$
Теперь катет $CH$. Биссектриса $BL$ делит прямой угол $B$ пополам, значит, $\angle HBC = 45^\circ$. В треугольнике $BHC$ угол $H$ прямой ($CH \perp BL$), поэтому третий угол тоже $45^\circ$ — треугольник равнобедренный прямоугольный.
$$CH = BC \cdot \cos 45^\circ = 20 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}.$$
Дальше найдём $LC$. Правило: биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон: $\dfrac{AL}{LC} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4}$.
Значит, $LC$ — четыре пятых гипотенузы: $LC = \dfrac{4}{5} \cdot 5\sqrt{17} = 4\sqrt{17}$.
Точки $L$ и $H$ обе лежат на прямой $BL$, поэтому треугольник $CLH$ прямоугольный в $H$, и катет $LH$ находим по теореме Пифагора из треугольника $LHC$:
$$LH = \sqrt{LC^{2} - CH^{2}} = \sqrt{272 - 200} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}.$$
Считаем площадь как полупроизведение катетов:
$$S_{CLH} = \dfrac{1}{2} \cdot LH \cdot CH = \dfrac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 10\sqrt{2} = \dfrac{1}{2} \cdot 120 = 60.$$
Проверка себя координатами: $B(0;\ 0)$, $A(0;\ 5)$, $C(20;\ 0)$; биссектриса — прямая $y = x$; $L(4;\ 4)$, $H(10;\ 10)$; площадь по формуле через координаты тоже даёт $60$. Сходится.
Площадь треугольника $CLH$ равна $60$.